Demostración De Varianza Estadística

Uni versidad de Chile
Facultad de economía y negocios

Estadística: Tarea N° 1



Problema 1.
Parte i.
a) Identificación del problema: Hayar una relación o condición con los resultados dados, con los cuales pueda formar la media y varianza de tal conjunto deelementos. Pero debe seguir cumpliendose las relaciones definidas anteriormente.
b) Desarrollo: Empezaremos igualando las definiciones que nos dán. Con eso iremos viendo si nos sirven las igualaciones que realizaremos. Tenemos:
con {x1,x2,x3,…,xn} ≡ {xi}n i=1 que se cumple
i=1n Xi=n*α y i=1nXi2=n*(α2+β2)
Y nos piden primero que encontremos la media de la variable X.
Por lotanto la fórmula conocida de la media es:
MX= 1n*i=1nXi
Entonces si reemplazamos los terminos conocidos, nos queda: MX= 1n*[n*α]
MX= α
∴La media de la variable X es α.
Luego, nos piden que calculemos la Varianza de la variable X, o más bien S(X). Y la fórmula dice que es así:
SX= 1n*i=1n[Xi- M(X)]2SX= 1n*i=1n[Xi2-2XiMX+M(X)2]
SX= 1n*[i=1nXi2-2MXnni=1nXi+M(X)2i=1n1] Usamos 1 conveniente
SX= 1n*[i=1nXi2-2MXnM(X)+M(X)2n]
SX= 1n*[i=1nXi2-2M2Xn+M(X)2n]
SX= 1n*[i=1nXi2-M2Xn]
SX= 1ni=1nXi2-1nM2Xn
SX=M(X2)-M2X Tal como la fórmula vista en clases.
∴Utilizaremos tal resultado para sacar la varianza
Reemplazaremos MX2= 1ni=1nXi2 Recordemos quei=1nXi2=n(α2+β2)MX2=1nn*(α2+β2)
MX2=α2+β2
Y para usar la fórmula de la varianza nos falta M2X
Pero sabemos que MX= α
Por lo tanto elevamos al cuadrado tal resultado.Lo que nos quedaria que
M2X=α2
E.E SX=M(X2)-M2X
SX=α2+β2-α2
SX=β2
∴La varianza de la variable X es β2
Nos dicen: “Además, si el conjunto es simétrico con respecto a la media, entonces,encuentre una expresión para M(X3) en función de las constantes α y β.
Nos dicen que debemos suponer que el conjunto es simétrico con respecto a la media, por lo tanto la formula del coeficiente de asimetría de Fisher es:
1ni=1n[Xi-M(X)]3S(X)32=0
Así que empezaremos a desarrollar la fórmula y luego reemplazaremos en función de α y β.
1ni=1n[Xi3-3Xi2MX+3XiM2X-M3X]S(X)32=0i=1nXi3nS(X)32-3M(X)i=1nXi2nS(X)32+3M2Xi=1nXinS(X)32-M3Xi=1n1nS(X)32=0

i=1nXi3nS(X)32=3M(X)i=1nXi2nS(X)32-3M2XM(X)S(X)32+M3XnnS(X)32

i=1nXi3nS(X)32=3M(X)i=1nXi2nS(X)32-3M3XS(X)32+M3XS(X)32

i=1nXi3nS(X)32=3MXi=1nXi2nS(X)32-2M3XS(X)32
Multiplicamos arriba y abajo por S(X)32

i=1nXi3n=3MXi=1nXi2n-2M3X1

i=1nXi3n=3MXM(X2)-2α3

i=1nXi3n=3α(α2+β2)-2α3

MX3=3α3+3αβ2-2α3

MX3=α3+3αβ2
Por lotanto ahí está lo que se pedia con respecto a α y β.
Parte ii.
Suponga que posee un conjunto de n observaciones de la variable Y. Además los valores de la muestra se pueden representar por una progresión geométrica, tal que:
yi=θ(1+∅)i ∀ i=1,2,..,n
Donde θ y ∅ son constantes.
Encuentre una expresión para M(Y), S(Y), el primer y tercer cuartil de Y.
Para sacar M(Y) hay que saber la∑ de los n términos y dividirla por n.

Por propiedad, sabemos que la suma de los n términos en una progresión geométrica es: Sn=anr-a1r-1
Tenemos que
a1=θ(1+∅)1 y a2=θ(1+∅)2
y por propiedad de progresión geométrica, sabemos que a2=a1r
Por lo tanto θ(1+∅)2=θ(1+∅)1r
r=θ(1+∅)2*(1+∅)1θ
r=1(1+∅)
Teniendo esos datos podemos saber la suma de los n términos de la progresión geométrica, quequedaría de la siguiente manera:
Sn=θ(1+∅)n*1(1+∅)-θ(1+∅)1(1+∅)-1
Y Para sacar M(Y), habría que dividirlo por n, lo cual quedaría Snn de manera que:
Snn=θ(1+∅)n*1(1+∅)-θ(1+∅)1(1+∅)-1*1n
Ordenando quedaría de la siguiente manera:

Snn=θ(1+∅)n+1-θ(1+∅)1-(1+∅)(1+∅)*1n

Snn=θ-θ(1+∅)n(1+∅)n+1∅(1+∅)*1n

Snn=(1+∅)[θ-θ(1+∅)n]∅(1+∅)n+1*1n

Snn=[θ-θ(1+∅)n]∅(1+∅)n*1n

Snn=[1-(1+∅)n](1+∅)n*1n...