Demostracion De Elipse

Deducción de la ecuación canónica de la elipse

Desarrollaremos la demostración del cálculo de la ecuación canónica de una elipse con centro coincidente con el origen de coordenadas y diámetrosmayor y menor coincidentes con los ejes x e y respectivamente.
Si P(x,y) es un punto perteneciente a la elipse, se verifica, por aplicación de la definición de esta cónica, que:
PF + PF’ = constante(1)
Como el vértice A pertenece a la elipse,
AF + AF’ = constante (2)
De acuerdo al gráfico, AF = a – c y AF’ = a + c (3)
Reemplazando las expresiones indicadas en (3) en la ecuación (2) ysimplificando resulta:
PF + PF’ = 2a
siendo 2a la longitud del diámetro mayor.

Además, como B pertenece también a la elipse, BF + BF’ = 2a (4)
Los triángulos rectángulos BOF y BOF’ son iguales portener un cateto común, los otros catetos iguales (igual a la semidistancia focal c) y el ángulo comprendido igual (se trata del ángulo recto)
En consecuencia, las hipotenusas BF y BF’ son iguales yreemplazando en (4) resulta:
2 BF = 2a [pic] BF = a
En el triángulo rectángulo BOF, aplicando el Teorema de Pitágoras,
BF2 = BO2 + OF2 (5)
Como BF = a (semidiámetro mayor); BO = b (semidiámetromenor) y OF = c (semidistancia focal), reemplazando en (5) resulta:
a2 = b2 + c2 (6)
que es la relación que vincula estos elementos de la elipse.

[pic]


Apoyándonos en las deduccionesanteriores, y a partir de la definición de la elipse, resulta:
PF + PF’ = 2a
[(c – x)2 + y2]½ + [(c + x)2 + y2]½ = 2a
[(c + x)2 + y2]½ = 2a - [(c – x)2 + y2]½
Elevando ambos miembros al cuadrado yoperando:
c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 -4a[(c – x)2 + y2]½ + c2 – 2cx + x2 + y2
Simplificando y ordenando los términos de la ecuación precedente:
cx = a2 - a[(c – x)2 + y2]½
a2 – cx = a[(c – x)2 + y2]½Elevando nuevamente al cuadrado miembro a miembro para eliminar la raíz:
(a2 – cx)2 = (a[(c – x)2 + y2]½)2
a4 – 2cxa2 + c2x2 = a2c2 – 2cxa2 + a2x2 + a2y2
Simplificando y agrupando:
a4 - a2c2 =...