Demostracion De La Ecuacion De Helmholtz

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Revista Mexicana de Física 37 No. 1(1991) 147-164

Solución de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas
G.F. Torres del Castillo
Departamento de Física Matemática, Instituto de Ciencias, Universidad Autónoma de Puebla, 72000 Puebla, Pue. (Recibido el 22 de agosto de 1990; aceptado el 26 de septiembre de 1990)

Resumen. Se resuelve la ecuación vectorial deHelmholtz en coordenadas esféricas por el método de separación de variables mediante el uso de los armónicos esféricos con peso de espín. Se muestra explícitamente que cualquier solución de la ecuación vectorial de Helmholtz que tenga divergencia igual a cero se puede expresar en términos de dos potenciales escalares que satisfacen la ecuación de Helmholtz. Se muestra también que las solucionesseparables de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas son eigenfunciones de los operadores del cuadrado del momento angular total y de la componente z del momento angular total. Se obtienen resultados análogos para la ecuación vectorial de La. place. PACS: 03.40.Kf; 03.50.D.

1. Introducción
La ecuación vectorial de Helmholtz, V2F k2F O, aparece en varias áreas de la física,tales como el electromagnetismo y la elasticidad, frecuentemente en relación con la ecuación de ondas. Si se emplean las componentes cartesianas de F. la ecuación vectorial de Helmholtz equivale a tres ecuaciones escalares de Helmholtz desacopladas -una para cada componentelas cuales pueden resolverse por se4 paradón de variables en varios sistemas de coordenadas. Sin embargo, en algunos problemas convalores de frontera o en el desarrollo en ondas esféricas, se requieren las componentes esféricas de F expresadas en términos de las coordenadas esféricas. Pero, a diferencia de lo que ocurre con las coordenadas cartesianas, la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas equivale a un sistsema de tres ecuaciones diferenciales parciales, cada una de las cuales contiene las trescomponentes del campo vectorial. En este artículo se resuelve la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas mediante el uso directo del método de separación de variables. A pesar del acoplamiento entre las ecuaciones a resolver, después de proponer una solución separable se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que se desacopla y resuelve fácilmente. La separación devariables se obtiene al considerar las combinaciones de las componentes f..-'Sféricasde F que poseen un peso de espín ~("finirlo v ("Xf)l'f'S.:t.r t,,,lps rOlnhin;:¡rioIlP~ PIl t.prlll;no O

( ~sen -, ,

O)

== -sen -, O ( - - ---i r¡sen O) . 00 sen O01>

O) (

(5)

La canlidad or¡ liene peso de espín S + 1, mienlras que '. Puesto que la divergencia de B es igual a cero, el campo B esuna superposición de soluciones de la forma (:J2) con k = lfi>. Y m = O. debido a la simetría axial, donde sólo pueden aparecer las funciones JI ya que las '11 divergen

Solución

de la ecunción vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas

159

en r

=

O:

13, =

f .fifl+ij>'it C)
1=1

}ío

B+ = L

~
1=1

[

A¡j,

( r )

i.\

i.\ d . ('.)] - -;:-dr rC/}I i.\, Y¡o

(45 )

13_ = L

~[
1=1

A,),

(r) i.\

i.\d + -;:- rrC/}I. d

(r)] i.\

-,Y¡o

La continuidad de B en la frontcra de la esfera implica que, en r = a, cada una de las componentes (44) sea igual a la componente respectiva cn las Ecs. (45); por lo que, dcbido a la indcpcndcllcia lincal de los armónicos esféricos con peso (le espín, los cocficiclltes de cada "YIO CII lasEcs. (44) Y (45) deben ser iguales entre sí cuando se evahían en r = a. De estas condiciones resulta que los ünicos coeficientes distintos de cero son b1 y GI, Y que éstos están relacionados por

-

ff~+ ff~
-[Jo

3

I'o

-b,a3

3

= -- i.\
a

[d-rC,), ( .,-)] I r
dr
1).

r=a

Usando que

JI -:- = i -:)senh - - -cosh lA r.\ r A
se hallan los valores

(r)

(.\2

r.\...
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