demostracion de ecuacion de bernoulli

Ecuación de Bernoulli (demostración)

Si al cabo de cierto tiempo, el fluido se
mueve desde la región cuya área transversal
es A1 hacia la región de área A2.
Comoel agua es incompresible, sólo
cambia la longitud ∆x1 a ∆x2. El volumen
permanece constante:

∆V1=∆V2
A1. ∆x1 = A2.∆x2
Tanto la energía cinética como la energíapotencial gravitatoria cambian:

∆Ec= భ m (v22 – v12)
మ

y

∆Epg= mg (h2 – h1)

En donde “m” es la masa del volumen del fluido considerado y cuya densidad será:
୫ρ= ∆୚
Para mantener el flujo en estas condiciones, el fluido debe empujarse de izquierda a derecha, por ejemplo
con una bomba que ejerza una presión P1. Mientrassobre el fluido se aplica tal presión, el fluido reacciona
aplicando una presión en contra P2. Como P=F/A, ambas fuerzas pueden representarse como F=P.A.
El trabajorealizado sobre la porción de fluido por la bomba será:

W1=F1.d= +F1.∆x1= +(P1.A1).∆x1
Mientras que el trabajo realizado por esta porción de fluido en contra, será:W2=F2.d= -F2.∆x2= -(P2.A2).∆x2
Ambos trabajos son no conservativos de la energía.
desarrollado sobre la porción de fluido como:

Por tanto, podemos expresar el trabajototal

WNC= W1 + W2 = +(P1.A1).∆x1 - (P2.A2).∆x2
Y como el volumen de la porción es ∆V= A1. ∆x1 = A2.∆x2 quedará:

WNC= P1.∆V1 - P2.∆V2
O en términos de densidad:
୫WNC= P1. ρ - P2.

୫
ρ

Con ello, ya aplicamos el principio de conservación de la energía:

భ
మ

∆Ec + ∆Epg = WNC
୫
୫
m (v2 – v12) + mg (h2 – h1) = P1. ρ -P2. ρ
2

De donde, multiplicando por ρ/m a toda la expresión, llegamos a la conocida Ecuación de Bernoulli:

(P2 – P1) + భ ρ (v22 – v12) + ρg (h2 – h1) = 0
మ