Demostración De La Ecuacion Del Rendimiento Creciente Y Decreciente

Esta función de producción es muy utilizada en el análisis económico
Q= F (K,L) = AK α L 1-α
Donde A representa una constante positiva y α es una fracción positiva la cual se puededeterminar como
Q = F (K,L) = AK α L ß
Q= producción
K= capital
A= tecnología
L= número de trabajos
Relaciona la cantidad de la producción con los diferentes niveles de factor trabajo.
Endonde la ß es otra facción positiva que puede ser igual o no a 1-α. Esta función se caracteriza por:
1. ser homogénea de grado (α+ß)
2. en el caso especial (α+ß = 1)
3. sus isocuantas tienependientes negativas en todos lados y son estrictamente convexas para valores positivos de K y L .
4. es estrictamente cuasicuántica para K y L positivos.
HOMOGENEIDAD
Esta se ve en al cambiar K y La jK y jL respectivamente, el producto se transforma en :
A(jK)α (jL)ß =Jα*ß ( AKα Lß)= jα+ßQ
En donde se demuestra que esta función es de grado (α+ß), en el caso de α+ß = 1 habran retornosconstantes en la escala.
ISOCUANTAS TIENEN PENDIENTE NEGATIVA
Esto se verifica mediante las derivadas
dK/dL y d2 K/dL2 para cualquier producto positivo Q0 por lo cual se escribe como :
AK α Lß =Q0 A,K,L , Q0 >0
Al tomar el logaritmo natural de ambos lados y al transponer encontramos que:
(ln A +αln K+ ßln L –ln Q0)= 0
Lo que implícitamente define a K como la función de L. por laregla de los logaritmos se tiene.

(dK )/dL=(∂F/∂L)/(∂F/∂K)=-(ß/L )/(α/K)=-(ßK )/αL 0
Los signos de esta derivada establecen que la isocuanta tiene pendiente hacia abajo en todos los lados y esestrictamente convexa en el plano LK par los valores L y K.
Para el caso de (α+ß = 1) se verifica las propiedades de homogeneidad
Q= F (K,L) = AK α L 1-α =A(K/L)^2L=LAα
Donde Akα esuna versión especifica de la expresión general, por tanto los productos promedios son:
APPL = Q/L=AK^2
APPK = Q/K=Q/L L/K=(AK^2)/K=AK^(α-1)
Lo cual ahora son funciones de K
Segundo, la...