Demostraciones Inducción Thomas Koshy (Number Theory)

Taller de Inducción

1. Un cuadrado mágico de orden n es un arreglo cuadrado de los enteros positivos desde 1 hasta n2 tal que la suma de los enteros en cada …la, columna
y diagonal es unaconstante k , llamada la constante mágica. La …gura
1.8 muestra dos cuadrados mágicos, uno de orden 3 y el otro de orden
4. Pruebe que la constante mágica de un cuadrado mágico de orden n es
n(n2 +1)
.2

Dado un cuadrado mágico, la suma de todos sus números es n veces la suma
en cada columna o …la.
Entonces si Sn es la suma de todos los números del cuadrado mágico, entonces Sn = k
nDemostrar que:
n2
X
2
2
Sn =
i = n (n2 +1)
i=1

Sea m = n2
En los nuevos términos debemos demostrar que:
m
X
i = m(m+1)
2
1

Pero esa demostración ya la hemos realizado. En todo caso,hagámosla.
m
X
1. Sea m = 1. Entonces
i = 1 = 1(2)
2
1

2. Supongamos que la fórmula

m
X

i=

m(m+1)
2

1

Entonces

m+1
X

i = 1 + 2 + 3 + ::: + m + m + 1. Esto es

1

Pero:1

m(m+1)
2

+ m + 1.

m(m+1)
2

2

+2
+ m + 1 = m +m2 m+2
2
+2
= m +m2 m+2
2
= m +3m+2
2
= (m+1)(m+2)
2

Que es lo que se quería probar.
2

Entonces

n
X

n2 (n2 +1).
2

i=

i=1

Y la suma de los números de una de sus …las sería entonces
2

n2 (n2 +1)
2

1
n

=

n(n +1)
2

2. Sea Sn la suma de los elementos en el enésimo conjunto de lasecuencia
de los conjuntos de los números cuadrados I1 = f12 g; I2 = f22 ; 32 g; I3 =
f4 ; 52 ; 62 g; I4 = f72 ; 82 ; 92 ; 102 g; I5 = f112 ; 122 ; 132 ; 142 ; 152 g; I6 = f162 ; 172 ; 182 ; 192 ; 202 ;212 g;
I7 = f222 ; 232 ; 242 ; 252 ; 262 ; 272 ; 282 g:::
Encuentre una fórmula para Sn.
Vemos cierta secuencia en la creación de los conjuntos, y eventualmente nos
!2
n
X
daremos cuenta que elelemento …nal del conjunto será
i . Si miramos
2

i=1

con n = 1 entonces vemos que el elemento …nal es el cuadrado número 1, es
2
decir 122 (Que es la fórmula que conocemos para esa...