Demostraciones matemáticas.

Demostración matemática.

En matemáticas, una demostración matemática o prueba es un argumento deductivo para una afirmación matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas. En principio una prueba se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas. 1 2 Las pruebas son ejemplos de razonamientodeductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una prueba debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree verdadera se conoce como conjetura.
Las pruebas emplean lógica pero normalmente incluyen una buenaparte de lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las pruebas en las matemáticas escritas puede ser considerada como aplicaciones de lógica informal rigurosa. Las pruebas puramente formales, escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se consideran en teoría de la prueba. La distinción entre pruebas formales e informales ha llevadoa examinar la lógica matemática histórica y actual, el cuasi-empirismo matemático y el formalismo matemático. La filosofía de las matemáticas concierne al rol del lenguaje y la lógica en las pruebas, y en las matemáticas como lenguaje.
El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.Etimología e historia.

La palabra «prueba» viene del latín probare, que significa ‘probar’. Palabras modernas relacionadas son las palabras españolas «probar» (‘degustar’, ‘oler’ o ‘ensayar’), «probidad», «probo» (o «proba») y «probabilidad»,3 la palabra alemana probieren (‘intentar’), la italiana probare (‘intentar’) y las palabras inglesas probe y probation. El uso temprano del términoinglés probity (‘probidad’) significaba ‘presentación de evidencia legal’. Una persona de autoridad ―que en general era cualquier persona con mucho dinero― se decía que era una persona «proba», y su evidencia pesaba más que cualquier otro testimonio o prueba empírica.4
Los argumentos de plausibilidad que usaban recursos heurísticos tales como imágenes y analogías precedieron a la prueba matemáticaestricta.5 Es probable que la idea de demostrar una conclusión se mostrara primero en conexión con la geometría, la cual originalmente significaba ‘medida de la tierra’ o agrimensura.6 El desarrollo de la prueba matemática es el producto primario de la matemática Griega antigua, y uno de sus más grandes logros. Tales de Mileto (624-546 a. C.) demostró algunos teoremas en geometría. Eudoxo (408-355 a.C.) y Teeteto (417-369 a. C.) formularon teoremas pero no los demostraron. Aristóteles (384-322 a. C.) dijo que las definiciones debían describir el concepto a definir en términos de otros conceptos ya conocidos. Las pruebas en matemáticas fueron revolucionadas por Euclides (300 a. C.), quien introdujo el método axiomático que aun se usa en la actualidad, empezando con términos indefinidos yaxiomas (proposiciones concernientes a los términos indefinidos asumidas como evidentemente ciertas, vienen del griego axios, que significa ‘valioso’), y usaba estos para probar teoremas usando lógica deductiva. Su libro, los elementos, fue leído por cualquiera que se considerara educado en el occidente hasta mediados del siglo XX.7 En adición a los teoremas familiares en geometría, tales como elteorema de Pitágoras, los elementos incluyen una prueba de que la raíz cuadrada de dos es irracional y de que hay infinitos números primos.
Avances posteriores tomaron lugar en las matemáticas medievales Islámicas. Mientras que las demostraciones Griegas tempranas eran sobre todo pruebas geométricas, el desarrollo del aritmética y el álgebra por los matemáticos Islámicos permitió pruebas más...