Demostraciones de análisis matemático 2

F.R.M. U.T.N

Demostraciones de Análisis Matemático II

Autor: Jorge Rivadeneira Cornejo

UNIDAD I – FUNCIONES VECTORIALES DE PARÁMETRO REAL
Siendo A de módulo constante, demostrar que A y dA/dt son perpendiculares siempre que |dA/dt|≠0.
como A es contante, A∙A = constante ( ∙ ) = + =2

Demostrar las fórmulas de Frenet-Serret:
a) b) c) = =− = −

como A y

son distintos de cero, laúnica posibilidad es que A y

pero

=0

sean perpendiculares

a) como

Sea N el vector unitario en la dirección y sentido de es la curvatura y b) Sea Luego De vez, c) ∙ =

∙

=1y

Luego

es perpendicular a T, por lo cuál debe encontrarse en la misma dirección de N. =− donde τ es la torsión y + × = × = es el radio de torsión. × =− + =

∙

× , entonces = ∙ ×

= es el radio decurvatura = 0 porque T ⊥ = × + ×

∙

= 0, podemos decir que

⊥

. , entonces

= =

. Donde N es el vector normal principal,

=

×

+

×

×

= 1 se deduce que B ⊥

y por lo tanto

se debe encontrar en el plano formado por T y N. Pero a su

Como N = B × T entonces, =

×

−

−

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Demuestre que la longitud de arco en 3, de una curva dada por unaecuación ( ) = ( ( ), ( ), ( )) que se recorre una vez a medida que t crece desde a hasta b, donde
Solución:

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Autor: Jorge Rivadeneira Cornejo

,

, ,

,

son contínuas, es = ∫

[ ( )] + [ ( )] + [ ( )]
= < <

Si partimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual tamaño y luego aproximamos cada ≈ [ ( )− ( )] + [ ( ) −( )=

por la longitud de las semirrectas que unen cada punto, cuya ecuación es )] + [ ( ) − ( ]= ( )Δ )]

<

=

donde

−

=Δ =

Si aplicamos el teorema del valor medio para f, g y h, donde ( )− ( ≈ ≈

Entonces,

Observe que si Δ es muy pequeño, todos los aproximación. ≈

[ ( )Δ ] + [ ( )Δ ] + [ ( )Δ ] [ ( )] + [ ( )] + [ ( )] Δ [ ( )] + [ ( )] + [ ( )] Δ [ ( )] + [ ( )] + [ ()] Δ [ ( )] + [ ( )] + [ ( )] Δ , , están muy cercanos y podríamos hacer la siguiente

( )[ −

La longitud de arco total s sería aproximadamente ≈

Al tomar el límite para n → ∞, deberíamos obtener la longitud de arco exacta: = lim
→

Dado que el límite exista, entonces

Nota: Como ‖ ( )‖ =

[ ( )] + [ ( )] + [ ( )] también podríamos escribir = ‖ ( )‖

=

[ ( )] + [ ( )] + [ ( )]Página 2 de 18

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Demostrar que la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio con una velocidad viene dada por:
Siendo T el vector tangente unitario, N el vector normal unitario y κ la curvatura. Solución: Si = = = entonces ( )= + ( ) = = = ( = + = )+ ( ) = +Aplicando la regla de la cadena a

Reemplazando (2) en (1) obtenemos:

y reordenando llegamos a demostrar que

UNIDAD II – FUNCIONES REALES DE VECTOR

TEOREMA: Suponga que | ( , ) − | ≤ ( , ) para todos los ( , ) en el interior de alguna circunferencia centrada en ( , ), con la posible excepción en ( , ). Si ( , )→( , ) ( , ) = , entonces ( , )→( , ) ( , ) = . A ( , ) se lo llamainfinitésimo, y entonces podemos afirmar que toda función es igual a su límite más un infinitésimo.
( , )= + ( , )

Demostración de que un límite existe
Calcule lim( Solución:
( , )→( , ) ( ) )

Primero hallamos el límite en (1,0) a lo largo de 2 trayectorias sencillas, para corroborar en primera instancia, la posibilidad de existencia de límite y para tener una primera impresión del valor de este. Alo largo de la trayectoria = 1, tenemos Página 3 de 18

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( , )→( , )

A lo largo de

= 0, tenemos

Si existe límite para esta función, en ese punto, deberá ser igual a cero. Ahora recurrimos a la definición fundamental del límite para confirmar esto. | ( , )− |= ( − 1) ln ( − 1) + ≤ −0

( , )→( , )

lim

( − 1) ln ( − 1)...