demostraciones

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LA ECUACION DE MICHAELIS-MENTEN
´
LIC. MARIO SANCHEZ DOM´
INGUEZ

1. Esquema para representar una reacci´n catalizada por una enzima.
o
La primera etapa es la formaci´n reversible delcomplejo enzima-sustrato, seo
guida de la conversi´n del complejo en enzima m´s un producto. Ambas etapas
o
a
quedan representadas a trav´s del siguiente par de ecuaciones qu´
e
ımicas.
E+S
ESk1
k−1
k2

ES
E+P

De las que podemos deducir, al usar la Ley de Acci´n de Masas, el siguinte
o
sistema de ecuaciones diferenciales.
d [E]
= −k1 [E] [S] + k−1 [ES] + k2 [ES]
dt
d [S]
=−k1 [E] [S] + k−1 [ES]
dt
d [ES]
= −k2 [ES] − k−1 [ES] + k1 [E] [S]
dt
d [P ]
= k2 [ES]
dt
Nos damos cuenta, de que al sumar las dos primeras ecuaciones, tenemos:
d [E] d [ES]
+
=0
dt
dt
esdecir
d
{[E] + [ES]} = 0
dt
lo que significa que la expres´n [E] + [ES] es una constante, digamos [E0 ] por
o
lo que
[E] + [ES] = [E0 ]
para todo t.
Supongamos ahora que el sustrato seencuentra en equilibrio qu´
ımico, es decir,
la velocidad con la que disminuye su concentraci´n es igual a la velocidad con
o
la que aumenta.
0=

d [S]
= −k1 [E] [S] + k−1 [ES]
dt

Date: 27 dejunio de 2013.
1

´
LIC. MARIO SANCHEZ DOM´
INGUEZ

2

lo que nos lleva a
k1 [E] [S] = k−1 [ES]
entonces
k1 [E] [S]
k−1
para todo t. Si relacionamos ahora los dos resultados, tenemos que:[ES] =

k1 [S]
{[E0 ] − [ES]}
k−1
k1 [S]
k1 [S]
=
[E0 ] −
[ES]
k−1
k−1

[ES] =

y as´
ı
k1 [S]
k1 [S]
[ES] =
[E0 ]
k−1
k−1
k1 [S]
k1 [S]
[E0 ]
[ES] 1 +
=
k−1
k−1
[ES] +[ES] =

k1 [S]
k−1

[E0 ]

1+

k1 [S]
k−1

=
Sea Km =

k−1
k1

[S] [E0 ]
k−1
k1

+ [S]

entonces escribimos
[ES] =

[S] [E0 ]
Km + [S]

multiplicando ahora por k2llegamos a que
k2 [ES] = k2

[S] [E0 ]
Km + [S]

=⇒

d [P ]
k2 [S] [E0 ]
=
dt
Km + [S]

de donde, al denotar Vmax = k2 [E0 ] y observar, que obtuvimos la velocidad
de concentraci´n del...