Derecho
Figure 1: Demostraci´n del concepto delm´todo jacobiano o e Para satisfacer la factibilidad debe cumplirse que g(X) = 0, ∂g(X) = 0, y en consecuencia ∂f (X) − f (X)∂X g(X)∂X = 0 = 0
Estas son (m + 1) ecuaciones con (n + 1) inc´gnitas, ∂f (X) y ∂X. Obs´rvese que ∂f (X) o e es una variable dependiente y en consecuencia est´ determinada una vez conocida ∂X. Eso a quiere decir que hay m ecuaciones con n inc´gnitas. o Si m > n, al menos (m− n) ecuaciones son redundantes. Al eliminar la redundancia el sistema se reduce a m ≤ n. Si m = n, la soluci´n es ∂X = 0 y X no tiene proximidad o factible, lo que quiere decir que el espacio de soluciones est´ formado s´lo por un punto. El a o caso restante, cuando m < n, requiere m´s desarrollo. a Se definir´ a X = (Y, Z) tal que Y = (y1 , y2 , . . . , ym ), Z = (z1 , z2 , . . . , zn−m ) Losvectores Y y Z se llaman variables dependiente e independiente, respectivamente. Al reexpresar los vectores gradiente de f y g en t´rminos de Y y Z se obtiene e f (Y, Z) = (
Y f, Z f ),
g(Y, Z) = ( 2
Y g,
Z g)
Se definir´ a J=
Yg
=
Y g1
, C=
Yg
=
Y g1
,
. . .
Y gm
. . .
Y gm
Jm×m es la llamada matriz jacobiana, y Cm×n−m es la matrizde control. Se supone que la jacobiana J es no singular. Eso siempre es posible, porque las m ecuaciones dadas son independientes, por definici´n. Entonces, se deben seleccionar los componentes del vector o Y tales que la matriz J sea no singular. El conjunto original de ecuaciones en ∂f (X) y en ∂X se pueden escribir como sigue: ∂f (Y, Z) = y J∂Y = −C∂Z Ya que J es no singular, existe su inversa,J−1 . En consecuencia, ∂Y = −J−1 C∂Z Al sustituir ∂Y en la ecuaci´n de ∂f (X) se obtiene ∂f en funci´n de ∂Z, esto es, o o ∂f (Y, Z) = (
zf Y f ∂Y
+
Z f ∂Z
−
Yf J
−1
C)∂Z
A partir de esta ecuaci´n, la derivada restringida con respecto al vector independiente Z es o
cf
=
∂c f (Y, Z) = ∂c Z
zf
−
Yf J
−1
C
c f (Y, Z)
donde c f es el vector gradiente...
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