derechos

RELACION DE TEORIA DE CONJUNTOS

La historia

Las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logictrató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dandoun gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G.

Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales.

Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintosobjetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar.

En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo(1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual.




SIMBOLOGIA

Ø
  Conjunto Vacío

U
  Conjunto Universal


  Conjunto Números Enteros Positivos
  1,2,3,...

  Conjunto Números Naturales
  0,1,2,3,...

  Conjunto Números Enteros
  ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...

  Conjunto NúmerosRacionales
  (Razones de enteros, i.e. quebrados)
  p/q donde p    y   q 

  Conjunto Números Irracionales
  2, ¶, e, 0, -1, ¾, ...



Teoría intuitiva de conjunto

Un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que en Frege su idea de lo que esun conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que satisface el predicado).


¿Cómo se determina una colección?

Definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A = {a, b, c}. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos

Describir los objetos. Cuando el número de elementosdel conjunto es infinito (como el de los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por comprensión, que consiste en la descripción de un conjunto como la extensión de un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado) que caracterizan a los elementos de ese conjunto.RELACIONES

Una relación es un conjunto de pares ordenados, de modo que toda función  es una relación, si bien lo recíproco no es necesariamente cierto, pues puede una relación no cumplir (f-1) o (f-2) (o ambas) de 1.7.1. De ésto, resulta conveniente adoptar una notación diferente a la que se usó con las funciones para expresar el hecho de que. Así pues, escribiremos

,

Las relaciones puedendefinirse entre más de dos conjuntos. Así, una relación entre los conjuntos,  y , puede ser cualquier subconjunto del producto cartesiano , y consistiría por tanto de ternas ordenadas. Una relación  así se dice relación ternaria, para distinguirse de las relaciones que se aplican solo entre dos conjuntos (que naturalmente se llaman relaciones binarias).


Clases unitarias, pares y díadasDefiniciones

Par desordenado. {x, y} = {z/ (z = x) ∨(z = y)}) ; es el conjunto formado por los elementos x, y.

Clase unitaria. {x} = {x, x}

Notación: {x, y, z} = {x, y} ∪ {z} .

Par ordenado. hx, yi= {{x} , {x, y}}

Conjunto potencia (o conjunto de las partes de un conjunto)

Definición

Partes de un conjunto. PA = {C/ C ⊆A}, partes de A está formado por los subconjuntos de A....