Derivada como razon de cambio

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LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

Puede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si [pic] describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por [pic]. De modosemejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respectoa su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad [pic] de un tiempo t a un tiempo [pic]. Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

[pic] y la razón instantánea: [pic]Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en términos de x por una fórmula [pic]podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde [pic] hasta [pic], se entiende la relación:
[pic]

Si el cocientediferencial tiene un límite cuando [pic], este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

Definición: La razón de cambio instantáneo de [pic] respecto a [pic] es la derivada [pic] siempre que la derivada exista.

Ejemplos:
1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas.Solución:
Sea [pic], el área del cuadrado como función de su lado. Entonces: [pic]

[pic]
Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingenieroeléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse acualquiera de los ejemplos anteriores.

Supongamos que una variable [pic] es función del tiempo de manera que al tiempo [pic] está dada por [pic], donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor inicial y el valor final de [pic] en el intervalo de tiempo [pic]está dada por [pic]. Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición.DEFINICIÒN

La razón media de cambio de [pic]en el intervalo [pic] es
[pic]
La razón de cambio de [pic]con respecto a [pic] es
[pic]

Las unidades que deben usarse en al definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad representada por [pic]. A veces [pic] se llama la razón de cambio instantáneo de [pic] con respecto a [pic].

El límite de este cociente cuando [pic]tiende a 0 (es decir, [pic]) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de [pic] unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen [pic] es una...
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