LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

Puede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambioinstantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si [pic] describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por [pic]. De modosemejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería,Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto asu temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Siel agua entra y sale, Q cambia en una cantidad [pic] de un tiempo t a un tiempo [pic]. Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

[pic] y la razón instantánea: [pic]Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en términos de x poruna fórmula [pic]podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde [pic] hasta [pic], se entiende la relación:
[pic]

Si el cocientediferencial tiene un límite cuando [pic], este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

Definición: La razón de cambio instantáneo de[pic] respecto a [pic] es la derivada [pic] siempre que la derivada exista.

Ejemplos:
1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas.... [continua]

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