DERIVADA IMPLICITA

SEMANA 11
CURSO:
Tema

:

CALCULO I - INGENIERÍA

Derivación implícita

DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Definición
Si tenemos algunas funciones de la forma F ( x, y)  0 , con y  f (x) en la cual la
variable dependiente y no está despejada en términos de x entonces y se llama función
implícita de x como por ejemplo:

x 2  y 2  25  0 ,

y2  x  0 ,

x 3  y 3  9 xy  0 ,

x 2 y 2 y 3  3x  2 y .

En la ecuación

y 3  7 y  x3
No podemos despejar y en términos de x. Sin embargo, aún puede ser el caso de que
exista exactamente una y correspondiente a cada x. Por ejemplo, podemos preguntas que
valores de y (si existe alguno) corresponden a x=2. Para responder esta pregunta,
debemos resolver
y3  7 y  8

Desde luego, y=1 es una solución, y resulta que y=1 es laúnica solución real. Dado
x=2, la ecuación y 3  7 y  x 3 determina un correspondiente valor de y. Decimos que la
ecuación define a y como una función implícita de x. El nuevo elemento es que no
tenemos una ecuación de la forma y  f (x) . Suponemos que y es alguna función
desconocida de x, luego, si denotamos a esta función como y (x) , podemos escribir la
ecuación como

y( x)3  7 y(x)  x 3
Aunque no tenemos una fórmula para y (x) , podemos, a pesar de eso, obtener una
relación entre x, y (x) y y' ( x) , mediante la derivación, respecto a x, de ambos lados de
la ecuación. Recordando aplicar la regla de la cadena, obtenemos:
d 3
d
d 3
( y )  (7 y ) 
(x )
dx
dx
dx
dy
dy
3y 2
7
 3x 2
dx
dx
dy
(3 y 2  7)  3x 2
dx

1

Departamento De Ciencias –Cajamarca

Facultad De Ingeniería

Obsérvese que nuestra expresión para dy / dx incluye tanto a x como a y, un hecho con
frecuencia es una molestia. Pero si sólo deseamos determinar la pendiente en un punto
en donde conocemos ambas coordenadas, no existe dificultad. En (2,1)

dy
3(2) 2
12 6



2
dx 3(1)  7 10 5
El método que se acaba de ilustrar para determinar dy / dx sindespejar primero la y – de
manera explícita de la ecuación dada – en términos de x se denomina derivación
implícita.

Procedimiento de diferenciación implícita
Para una ecuación que supuestamente define a y de manera implícita como una función
diferenciable de x , la derivada dy / dx puede encontrarse como sigue:
1. Diferencie cada término de la ecuación respecto de x y y . Cuando se hacerespecto a y se le agrega dy / dx .
2. Agrupe todos los términos que contengan dy / dx en el lado izquierdo del igual y
agrupe los demás términos en el lado derecho.
3. El lado izquierdo de la ecuación se factoriza por termino común, el cual es
dy / dx .
4. Despeje dy / dx , tome en cuenta las restricciones

Ejemplo:
1.

Dado que 4 x 2  9 y 2  36 . Determine dy / dx
Solución
d
d
4 x 2 9 y 2   dx 36
dx
d
d
4 x 2   dx 9 y 2   0
dx
dy
8 x  18 y
0
dx
dy  8 x
4x


dx 18 y
9y

2.

Derivar 3x 2 y  7 xy 3  4 x  8 y
Solución





d
d
4 x  8 y 
3x 2 y  7 xy 3 
dx
dx

2

Departamento De Ciencias – Cajamarca

Facultad De Ingeniería









d
d
d
4 x   d 8 y 
3x 2 y 
7 xy 3 
dx
dx
dx
dx
dy  3
d3 
dy
6 xy  3x 2
  7 y  7x
y   48
dx 
dx
dx

dy  3
dy  
dy

6 xy  3x 2
  7 y  7 x 3 y 2    4  8


dx 
dx  
dx

dy
dy
dy
6 xy  3x 2
 7 y 3  21xy 2
 48
dx
dx
dx
dy
dy
dy
3x 2
 21xy 2
8
 4  7 y 3  6 xy
dx
dx
dx
dy
3x 2  21xy 2  8
 4  7 y 3  6 xy
dx
dy
4  7 y 3  6 xy
 2
dx 3x  21xy 2  8

 



3.

Dada x cos y  y cos x  1  0 . Calcular dy / dx
Solución
d
x cos y   d  y cos x   d 1  d 0
dx
dx
dx
dx
dy
dy
1. cos y  x( seny )  . cos x  y(senx)  0  0
dx
dx
dy dy
1. cos y  xseny
 . cos x  ysenx  0
dx dx
cos x  xseny  dy  ysenx  cos y
dx
dy ysenx  cos y

dx cos x  xseny

RAZONES RELACIONADAS
Se ha estudiado la regla de la cadena...