derivadas implicitas

CAPÍTULO

6
Reglas de derivación

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6.6 Derivación implícita
Hasta aquí la palabra derivada ha sido asociada a funciones definidas explícitamente mediante una
igualdad de la forma y D f .x/, donde una de las variables .y/ aparece explícitamente definida como
función de otra variable .x/.
En esta situación [dada la función y D f .x/], al mencionar la palabra derivada entendemos que sedy
está haciendo referencia a la derivada
D f 0 .x/ de la variable (dependiente) y con respecto a la
dx
variable (independiente)x.
Pero no siempre se define a una función en forma explícita como en y D f .x/. Puede ocurrir que
la variable y sea función de la variable x, definida implícitamente en una ecuación de la forma
g.x; y/ D 0, donde estén relacionadas dichas variables. Veamos algunosejemplos:
1. x 2 C y 2

1 D 0.

2. x 2 C y 3

6xy D 0.

3. .x 2 C y 2 C 4/2

16x 2

36 D 0.

Si tenemos una ecuación en la que aparecen las variables x & y, además de constantes y de operaciones entre ellas, nos podemos preguntar si y es función de x.
Es claro que si podemos despejar la y, dejándola sola en un miembro, habremos contestado afirmativamente a la pregunta, y decimos quetenemos esta y expresada explícitamente como función de x
y que en la igualdad original se tenía esa y definida implícitamente como función de x.
Más aún, nos podemos seguir preguntando si la función y (expresada implícitamente) es derivable
y en este caso, ¿cómo podríamos calcular su derivada directamente de la igualdad original? La
derivada puede calcularse por el método de derivaciónimplícita, que consiste en suponer que y es
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canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

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Cálculo Diferencial e Integral I

una función derivable de x y derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x, obteniendo
términos que contengan la derivada y 0 para finalmente despejar la derivada y 0 que queda en términos de x & y.
Ejemplo 6.6.1 Calcular

dy
en la ecuación x 2 C y 2 D 1.
dx

HSuponemos que y es una función derivable de x. Luego, derivando con respecto a x ambos
miembros de la ecuación,
d 2
d 2
d
x C
y D
1 ) 2x C 2y
dx
dx
dx

dy
dx

D 0:

(Obsérvese que para derivar y 2 hemos usado la regla de la potencia y decimos que su derivada es
2y y 0 por la regla de la cadena.)
Entonces
x
2y y 0 D 2x ) y 0 D
donde y ¤ 0 :
y
Comprobación. Si despejamos y dex 2 C y 2 D 1, obtenemos que:
p
p
y 2 D 1 x2 ) j y j D 1 x2 ) y D ˙ 1

x2 :

Entonces y no es función de x, pues a un valor de x 2 . 1; 1/ le corresponden dos valores de y, pero
p
si pensamos que y D 1 x 2 para x 2 . 1; 1/ (donde y 6D 0), tenemos
y D .1

x
:
y

1
2x
x2 / 2 ) y 0 D p
D
2 1 x2

y

p

y
1

 

yD

x2

x

Análogamente para y D

p

1

x 2 , x 2. 1; 1/:
1

y D .1

2

x

x2 / 2 ) y 0 D

2x
p
D
2 1 x2

x
p
D
1 x2

x
:
y

6.6 Derivación implícita

3
y

x

p

1

x2

y
¡

yD

x

Nota. La comprobación que hemos proporcionado en este primer ejemplo no es algo que siempre
pueda hacerse, ya que, generalmente, en la ecuación dada en ocasiones no se puede despejar una de
las variables en función dela otra.
Ejemplo 6.6.2 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por
x 3 C y 3 D 6xy

(la hoja de Descartes)

en el punto .3; 3/.
H El punto (3; 3) sí pertenece a la curva definida por x 3 C y 3 D 6xy, pues sus coordenadas, x D
3 & y D 3, satisfacen la ecuación: 33 C 33 D 27 C 27 D 54 D 6 3 3.
Suponemos que en la ecuación x 3 Cy 3 D 6xy define implícitamente a y D .x/;entonces, calculamos
dy
derivando implícitamente con respecto a x.
dx
d 3
d
.x C y 3 / D
.6xy/I
dx
dx
d 3
d 3
d
.x / C
.y / D 6 .xy/:
dx
dx
dx
Aplicando las reglas de la potencia y la del producto:
3x 2 C 3y 2
(Nótese que

dx
dy
dy
D6 x
Cy
dx
dx
dx

:

dx
D 1.)
dx
dy
dy
D6 x
Cy I
dx
dx
dy
dy
3x 2 C 3y 2
D 6x
C 6y:
dx
dx
3x 2 C 3y 2

3

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