Derivadas Matriciales

Departamento de Economía

Universidad de Chile

Derivadas matriciales útiles para STA300
Por Pedro Roje L.

1) Definición Sea perteneciente a una función n variables, que se puede identificarcon un vector . Dado lo anterior, podemos definir1:

Donde:

2) Propiedades que serán útiles en Econometría 1 Sean y vectores de , y A una matriz simétrica cualquiera nxn, entonces: con respecto aes 0.

a) La derivada de una función que no contenga el vector b) Si

Haré solo la “demostración” de esta propiedad, para que así entiendan como funciona todo esto. Sea:

Entonces:

1

Entérminos más concretos, asumiremos que:

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Luego, la gradiente de la función es:

c) Si d) Si 3) Ejercicio matemático Sea X una matriz de n x 3, Yun vector de n x 1 y siguiente ecuación de matrices: un vector de 3 x 1, se define la

Se pide encontrar Respuesta: Para hacer todo esto más sencillo derivaremos cada elemento de la ecuación porseparado y emplearemos las propiedades descritas arriba.   Antes de todo hay que notar que como es una matriz de 3xn e Y es un vector de nx1, por propiedad de la multiplicación de matrices, será unvector de 3x1. A este vector lo escribiremos como z. Dado lo anterior, H quedaría: (esto se desprende de la propiedad a))

La clave del asunto trata que es un escalar, pues es de 1x3 y z es de 3x1. Alser un escalar, podemos utilizar la propiedad de matrices traspuestas de que un escalar traspuesto es simplemente el mismo escalar:

Por tanto, ahora podemos expresar H usando la formula anterior:Usando la propiedad de que

y que

, tenemos:

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Ahora, empleando la propiedad b) de las derivadas de matrices, tenemos que:

 Aquípodemos usar la propiedad d) de las derivadas de matrices. Lo único que debemos corroborar es si la matriz es simétrica. Para ver esto, debemos acordarnos que una matriz es simétrica si la traspuesta de...