Producto matricial

|Temas de Geometría Vectorial y Álgebra Lineal |
|Profesor: Grimaldo Oleas L. |
|Documento número: 2 |
|PRODUCTO MATRICIAL |
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|Septiembre de 2009 |

Conocimientosprevios:
1. Matriz real de orden mxn
2. Rmxn
3. Vector columna (matriz de una columna)
4. Vector fila (matriz de una fila)
5. Adición de vectores
6. Multiplicación de escalares por vectores
7. Producto escalar en Rn
8. Sistema general de m ecuaciones con n variables
9. Matriz transpuesta

Notación:

Si A es una matriz real de orden mxn, denotaremos:
• Ai (i= 1, 2, [pic] m) a la fila número i de A
• aj (j = 1, 2, [pic] n) a la columna número j de A.
• Si A Є Rmxn, entonces AT Є Rnxm. Además, Si S = AT, se tiene:
✓ La columna número j de S es la transpuesta de la fila número j de A: sj = (Aj)T
✓ La fila número i de S es la transpuesta de la columna número i de A: Si = (ai)T.

Elementos introductorios
Un sistema general dem ecuaciones lineales con n variables (SGE) es un conjunto de ecuaciones así:
[pic]=[pic]
[pic]=[pic]
[pic]
[pic]=[pic]

Las [pic] (i =1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) son constantes reales y se denominan coeficientes.
Las [pic](j = 1, 2, …, n) son variables reales.
Las [pic](i = 1, 2, …, m) son constantesreales, llamadas términos independientes.

El SGE puede escribirse como igualdad de vectores columna (matrices de orden mx1) así:

[pic]=[pic] (1)

Llamemos b al vector columna de la derecha de la igualdad. De este modo, b es una suma de n vectores:
b = [pic]+[pic]+ [pic] +[pic] (2)
De aquí se obtiene:

b =[pic][pic]+[pic][pic]+ [pic] +[pic][pic] (3)

Definamos vectores así:

[pic]=[pic]; [pic]= [pic]; [pic];[pic]=[pic].

Esto permite escribir:
b = [pic].

Si llamamos A a la matriz cuyas columnas son, en su orden, [pic], se tiene:
A = [pic].
O bien,
A= [pic] (4)

A es la matriz de loscoeficientes del SGE. Es evidente que A es una matriz real de orden mxn; es decir, A Є Rmxn.

MÓDULO 1: Definición del producto matricial

Lo anterior motiva lo siguiente:

DEFINICIÓN 1
Sea A una matriz real de orden mxn, de columnas [pic](j = 1, 2, … , n). Sea además X un vector columna de n componentes reales. Se define el producto AX (en ese orden) así:
AX = [pic] [pic][pic][pic]. (5)

NOTAS:

1. Según la definición, el producto AX es una combinación lineal de las columnas de la matriz A, con coeficientes [pic] (las componentes del vector X).
2. Para que el producto AX (en ese orden) esté definido, el vector columna X debe tener tantas componentes como columnas tiene la matriz A.
3. Con A en Rmxn y X en Rnx1, AX Є Rmx1, es decir, AX es un vector columnaque tiene tantas filas como A (m) y tantas columnas como X (1).

Si se tiene en cuenta la expresión 4, entonces

b = [pic][pic]+[pic][pic]+ [pic] +[pic][pic].

De aquí se obtiene:

[pic]= [pic].

En consecuencia, la componente número i (i = 1, 2, [pic], m) de [pic]es:

[pic]= [pic].

Si además tenemos presente que lafila número i (i= 1, 2, … , m) de la matriz A es:

Ai = [pic][pic] [pic] [pic][pic][pic], puede concluirse que la componente número i del vector producto b (AX), es el producto escalar entre la fila número i de la matriz A y el vector X (ambos, elementos de Rn).

En síntesis, si A Є Rmxn y X Є Rnx1, y la matriz A expresada por filas es:

A= [pic];

entonces...