Derivadas trascendentes

DERIVADAS TRASCENDENTES
  Ing. Rosario Castillo el Mar Abr 28, 2009 11:39 am
EN LAS DERIVADAS TRASCENDENTES, ESTAN LAS TRIGONOMETRICAS DIRECTAS, LAS TRIGONOMETRICAS INVERSAS, LAS EXPONENCIALES Y LAS LOGARITMICAS,

PRIMERO VAMOS A VER LAS TRIGONOMETRICAS DIRECTAS.

Derivada de Sen v, y Cos v, si vamos al formulario tenemos

d/dx Sen v = Cos v dv/dx

d/dx Cos v = - Sen v dv/dxEjemplo ejercicio No. 1 de la pagina 24 de las copias que UTILIZAMOS en clase.

1.- Y= Sen x Y’ = Cos x (1) = Cos x v= x dv= 1
Esto es seno x , vamos al formulario utilizamos la formula donde esta d/dx= seno x que es igual a coseno x, por la derivada de v con respecto a x, (derivada de x)

2.- Y= Cos 2x Y’ = - Sen 2x (2) = - 2 Sen 2x
v = 2x dv = 2

Con Coseno es igual vamos a la formula decoseno x que es igual a – Sen de 2x por la derivada de 2x que es (2) y multiplicamos, no se puede 2x por 2, sino 2 por el –sen 2x por eso el 2 va primero ok.

3.- Y= Tan 3x Y’ = Sec² 3x (3) = 3 Sec² 3x
v = 3x dv = 3

Primero vamos a la formula de d/dx Tan v = Sec² v dv/dx la respuesta es Sec² de 3x por la derivada de 3x (3)

VOY A RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SI TIENES ALGUNA DUDAPOR FAVOR PREGUNTA.

4.- Y= Cot 4x derivamos Y’= - Csc² 4x (4) = - 4 Csc² 4x

5.- Y= Sec x² derivamos Y’= Sec x² Tan x² ( 2x) = 2x Sec x² Tan x²

6.- Y= Csc 5x derivamos Y’= - Csc 5x Ctg 5x ( 5) = -5 Csc 5x Ctg 5x

La nùmero 7 no la vamos a resolver ya que es de las trigonometrícas inversas.

OTROS EJEMPLOS ANTES DE RESOLVER
Ejemplo 1 :

Y= Cos √ 1- x² en este caso la v = √ 1- x²dv = -x/ √ 1-x²

Y’= - Sen √ 1- x² por -x/ √ 1-x² = x Sen √ 1-x² / √ 1-x²

Ejem. 2 Y= Tan³ 4x en este caso primero (Tan 4x)³ lo elevamos todo al valor del exponente de la Tangente, Seno, Coseno, depende de la función, después derivamos V = 3 (Tan 4x)² nada mas así sin multiplicar por la derivada de 4x. Después multiplicamos utilizando la formula de Tan. Y= Tan³ 4x su derivada Y’= 3(Tan 4x)² .4 Sec² 4x = por ultimo multiplicamos 4 x 3 y (tan 4x)² lo regresamos al la forma original tan² 4x y la respuesta final Y’ = 12 Tan² 4x Sec² 4x

Y = 2 Sen 4x v = 4x dv = 4 Y’ = 2 ( Cos 4x . 4 ) = 8 Cos 4x

Ejemplo 3

Y = x² Sen x este caso es U.V
u= x² v = Sen x
du= 2x dv = Cos x (1) = Cos x

Desarrollar la formula (u.v)
Y’= x² (Cos x) + Sen x (2x) = x² Cos x + 2x Sen x

Lasfunciones racionales y las irracionales, que han sido tratadas en las páginas anteriores, se denominan funciones algebraicas.
Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.
Son funciones trascendentales elementales 
* Función exponencial: 
f(x)=ax; a > 0, a ¹ 1.
* Función logarítmica:
f(x)=loga(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial.
*Funciones trigonométricas:
También llamadas circulares
f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)
Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas y más bien analizar algunos casos, no excesivamente complicados, donde intervengan las primeras.Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica:
* f(x)=ax está definida para todo x en R
* f(x)=a-x=(1/a)x, a>1, 0<1/a<1
* f(x)=loga(x) está definida para x>0
* Representaremos el logaritmo decimal log10(x) por log(x) y el logaritmo neperiano loge(x) por ln(x),siendo e=2,718281... el llamado número 'e'
* f(x)=sen(x) y f(x)=cos(x) están definidas para todo valor de x. Su periodo es 2
* f(x)=tg(x) no está definida para x=/2 +k. Su periodo es .
* Cuando se trate de funciones compuestas del tipo: ag(x), loga(g(x)), tg(g(x)), etc, debemos observar el dominio compuesto de g(x) y de la función trascendente.
Ejemplo: f(x)=log (x/(x-1)) no está...