Derivadas y su importancia

Derivadas.
En cálculo (una rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia, lo que quiere decir, que una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo estáviajando.
La derivada de la función en el punto marcado (punto x) equivale a la pendiente (inclinación) de la recta tangente. Como se demuestra en esta gráfica donde la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo.


Supongamos que tenemos una función y la llamamos F. La derivada de F esotra función que llamaremos f´ (f prima). F´ (x) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F en el punto x. En términos geométricos, esta pendiente F´ (x) es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto [x, F (x)] y que es tangente a la gráfica de F.
En términos geométricos esta pendiente F´ (x) es la inclinación de la línea recta que pasa justo porencima del punto [x, F(x)] y que es tangente a la gráfica de F.

Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto:
La recta tangente a la curva con ecuación y = F(x) en el punto P (a, b), es la recta que pasa por el punto P cuya pendiente denota F´ (a) es, (siempre que el límite exista):

La cual representa un acercamiento de lapendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
Derivada de la función en el punto se define como: dada la función F(x) y considerando un punto a de sudominio, se llama derivada de la función en ese punto denotada como F´(a), al siguiente límite.


Lamentablemente no todas las funciones poseen derivada, desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varias cosas: por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la funciónvalor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente; también se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua; incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos intercepta en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente. Las funciones queposeen derivada se llaman “diferenciables”.

Derivada de una función

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poderabordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación. La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a lagráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales...