Derivados Exoticos

Derivados Ex´
oticos
(Pricing Of Exotic Options)

Nelson Tiuso1
Departamento de Matem´
aticas, Universidad Nacional de Colombia, A.A 5997, Bogot´
a - Colombia
10 de diciembre de 2009
Resumen
Los precios del mercado dependen de las escogencias y desiciones hechas por un gran n´
umero de agentes actuando bajo condiciones de incertidumbre. este margen de incertidumbre se puede estudiar, imponiendocondiciones en los precios del activo para
el planteamiento de un modelo matem´
atico con objeto de simular el comportamiento de los precios. Las opciones son un tipo
de instrumento financiero conocido como “derivado”, el cual depende, o se deriva, del precio de otro activo, algunos de estos
contratos tienen propiedades estandar; el objeto de este trabajo es analizar algunos contratos de opci´
onex´
oticos y la forma en
que son valorados, estetipo de opciones pertenecen a los contratos no estandar
Palabras claves: Derivados ex´
oticos, Modelo de Black-Scholes, Opciones Paylater, Gap, Digital.
Abstract
the same Resumen in English
Keywords: Exotics Derivatives, Black-Scholes Formula, Paylater, Gap, and Digital Options.
Introducci´
on
Un “derivado financiero” (instrumento derivado) es unproducto financiero cuyo valor se basa en el precio de otro activo, de ah´ı su
nombre. El activo del que depende toma el nombre de activo subyacente, por ejemplo el valor de un futuro sobre el oro se basa en
el precio del oro. los subyacentes utilizados pueden ser muy diferentes, acciones, ´ındices burs´
atiles, valores de renta fija, tipos de
inter´es o tambien materias primas.
Lascaracter´ısticas generales de los derivados financieros son los siguientes:
Su valor cambia en respuesta a los cambios de precio del activo subyacente.
Requerie una inversi´
on inicial neta muy peque˜
na o nula, respecto a otro tipo de contratos que tienen una respuesta similar
ante cambios en las condiciones del mercado. Lo que permite mayores ganancias como tambien mayores perdidas.
Se liquidara en una fechafutura.
Pueden cotizarse en mercados organizados (como las bolsas) o no organizados (OTC)
Acontinuaci´
on se prsentar´
a el soporte te´
orico necesario para tratar las caracter´ısticas y el tipo de valoraci´
on de un tipo especial
de derivados (Derivados Ex´
oticos) Los cuales se explicaran en detalle mas adelante.

1.

Marco te´
orico

Definici´
on 1 Un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) se dicecompleto si: para todo A ∈ F, P (A) = 0 se tiene que B ∈ F , para todo
B⊂A
Definici´
on 2 Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad completo. Sea {Ft }t∈I una familia de sub -σ-algebras de F, tal que Fs ⊂ Ft
para s < t, s, t ∈ I. Tal familia {Ft }t∈I es llamada una filtraci´
on.
1 Enviar

correspondencia: nelsontiuso@matematicas.net

Definici´
on 3 Un conjunto {(Xt , Ft )}t∈I que consiste de unafiltraci´
on {Ft }t∈I y una familia {Xt }t∈I de Rn -variables aleatorias
Ft −medibles es llamado un proceso estocastico con filtraci´
on {Ft }t∈I .

Definici´
on 4 Movimiento Browniano
El proceso de valor real {Wt }t≥0 tal que:
W0 = 0 P − c.s.
Wt − Ws

N (0, t − s) para 0 ≤ s < t

Wt − Ws es independiente de Fs , 0 ≤ s < t
Es llamado un movimiento Browniano unidimensional.

Definici´
on 5Movimiento Browniano y la filtraci´
on Browniana
Al movimiento Browniano se le puede asociar su filtraci´
on natural:
FtW := σ{Ws | Fs , 0 ≤ s < t}, t ∈ [0, ∞)
Sin embargo por razones te´
oricas vamos a trabajar con la filtraci´
on natural ampliada
F := σ{FsW ∪ N | N ∈ F , P (N ) = 0}, t ∈ [0, ∞)
La cual llamaremos filtraci´
on Browniana.
Es necesario por razones t´ecnicas para la integraci´
onestocastica que una filtraci´
on sea continua a derecha
Teorema 1 La filtraci´
on Browniana {Ft }t≥0 es continua a derecha, es decir,
Ft = Ft+ :=

Ft+
>0

Definici´
on 6 Una filtraci´
on {Gt }t≥0 satisface las condiciones usuales si es continua a derecha y G0 contiene todos los conjuntos
P-nulos.
En el movimiento Browniano {(Wt , Ft )}t≥0 se encuentra el proceso estocastico apropiado para modelar la...