Derivas Definidas

CAP´ITULO XI.
APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA

SECCIONES
´
A. Areas
de figuras planas.
B. C´alculo de vol´
umenes.
C. Longitud de curvas planas.
D. Ejercicios propuestos.

37

´
A. AREAS
DE FIGURAS PLANAS.

En Geometr´ıa Elemental se conocen las f´ormulas para hallar el ´area de cualquier regi´on limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una regi´on
est´a limitada por alguna l´ıneacurva, como es el c´ırculo, el ´area se expresa
como un l´ımite de las ´areas de poligonales “pr´oximas”. El procedimiento
descrito en el cap´ıtulo anterior para definir el concepto de integral de una
funci´on consiste precisamente en aproximar la funci´on por funciones escalonadas; si consideramos una funci´on y = f (x) no negativa en un intervalo
[a, b], la integral inferior es el l´ımite de lasuma de las ´areas de los rect´angulos inscritos en la regi´on limitada por la curva y = f (x), el eje OX y las
rectas x = a y x = b, y la integral superior es el l´ımite de las ´areas de los
rect´angulos circunscritos a dicha regi´on. De este modo podemos definir el
´area de dicha regi´on como la integral de la funci´on f en el intervalo [a, b].
En general,
Dada una funci´on y = f (x) integrableen un intervalo [a, b], el ´area de la
regi´on limitada por la funci´on, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define
como
b

|f (x)| dx.

A=
a

Observaci´
on: El valor absoluto de la funci´on es debido a que en los intervalos donde la funci´on es negativa, la integral tambi´en es negativa y su valor
es opuesto al del ´area correspondiente.
En la pr´actica, para eliminar el valor absoluto en elintegrando, debemos
determinar los intervalos de [a, b] donde la funci´on es positiva o negativa y
descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno
de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. As´ı, en la figura
adjunta, el ´area se expresa como
r

s

f (x) dx −

A=
a

b

f (x) dx +
r

f (x) dx.
s

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En particular, si la funci´on est´a expresada en formaparam´etrica x = x(t), y =
y(t), el ´area viene expresada como
t1

b

y(t) · x (t) dt,

y dx =

A=

t0

a

donde a = x(t0 ), b = x(t1 ).
Regiones m´as generales que las descritas son aquellas que est´an limitadas
por dos funciones y = f (x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y
x = b. En este caso el ´area se expresa mediante la f´ormula
b

|f (x) − g(x)| dx.

A=
a

En el ejemplo de lafigura, el ´area se descompone como:
s

r

[g(x) − f (x)] dx +

A=

b

[f (x) − g(x)] dx +
r

a

[g(x) − f (x)] dx.
s

Si la regi´on est´a limitada por dos curvas y = f (x), y = g(x) entre dos
rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas
e integramos respecto a la variable y. El ´area se expresa entonces como
d

A=

|f −1 (y) − g −1 (y)| dy.

c

En el ejemplo de la figura,dicha integral se descompone como
r

A=

d

[f −1 (y) − g −1 (y)] dy +

c

r

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[g −1 (y) − f −1 (y)] dy.

En los ejercicios que siguen veremos ejemplos de todas las situaciones planteadas. Al ser v´alidas aqu´ı todas las propiedades de las integrales obtenidas
en el cap´ıtulo anterior, aplicaremos siempre los teoremas fundamentales de
la integral. Omitiremos en la mayor´ıa de los casos elc´alculo de las primitivas pues ya se han realizado en el cap´ıtulo 7. Nos limitaremos a escribir
el resultado de dicha primitiva y a indicar las sustituciones en los extremos
de integraci´on. S´ı es muy conveniente tener una idea aproximada de la representaci´on gr´afica de las funciones involucradas para conocer la posici´on
relativa de las mismas y los intervalos de integraci´on. Es importante tambi´enobservar las simetr´ıas de las figuras para as´ı poder escribir f´ormulas
m´as sencillas para el ´area de las mismas.

PROBLEMA 11.1

Calcular el ´
area de la regi´
on limitada por la gr´
afica de la funci´
on
f y el eje X en el intervalo indicado:
a) f (x) = |x| − |x − 1| en [−1, 2].
b) f (x) = x(ln x)2 en [1, e].
c) f (x) = e−x | sen x| en [0, 2π].
Soluci´
on
a) El ´area de la regi´on (que...