despeje

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Propiedades de la igualdad
El álgebra es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades de objetos
matemáticos.
Un objeto matemático puede ser un número, una ecuación, un vector, etc.
Por ejemplo, para el álgebra de los números, tenemos un conjunto de objetos, en este caso, los
números, y el álgebra lo que hará es buscar y encontrartodas las propiedades de ese conjunto de
números.
La igualdad es una relación que se define entre números.
Las tres propiedades más importantes de la igualdad se resumen en una estructura matemática
que se conoce como relación de equivalencia.
Relación de equivalencia
La relación de equivalencia se define con las siguientes propiedades:
Reflexiva: a = a.
Ejemplo: 5 = 5.

Definición
1Simétrica: Si a = b, entonces, b = a.
Ejemplo: Si x = 2, entonces, 2 = x.
Transitiva: Si a = b, y b = c, entonces, a = c.
Ejemplo: Si x = 2, y 2 = w, entonces, x = w.
Las propiedades de la igualdad nos ayudan a justificar los métodos que usaremos para resolver
problemas.
Por ejemplo, la propiedad reflexiva en palabras dice: «un número siempre es igual a sí mismo». En
un contexto familiar, podemosdecir: yo siempre tengo mi propia edad.
La propiedad simétrica en palabras dice: «Si un número es igual a otro, el segundo debe ser igual al
primero». En el mismo contexto, podemos decir: Si Alicia tiene la misma edad que Berenice, entonces
Berenice tiene la misma edad que Alicia.
La propiedad transitiva en palabras dice: «Si un primer número es igual a otro segundo número, y
además, el segundonúmero es igual a otro tercer número, entonces el tercer número y el primer número
deben ser iguales». En el contexto de las edades esto se aplica así: Si Alicia tiene la misma edad que
Berenice, y Berenice tiene la misma edad que Claudia, entonces, Alicia y Claudia tienen la misma edad.
Sin embargo, esas propiedades no son todas las que posee la igualdad.

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Propiedades de la igualdad
Además de las propiedades que se mencionan en la relación de equivalencia, la igualdad presenta las
siguientes:
Para la suma: Si a = b, entonces, a + c = b + c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x + 3 = 5 + 3.
Para la resta: Si a = b, entonces, a − c = b − c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x − 3 = 5 − 3.
Para la multiplicación: Si a= b, entonces, a c = b c.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, 7 x = (7)(5).
b
a
Para la división: Si a = b, entonces, = .
c
c
x
5
Ejemplo: Si x = 5, entonces, = .
7
7

Definición
2

( c = 0)

Para la potencia: Si a = b, entonces, an = bn .
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x2 = 52 .
√
√
n
Para la raíz: Si a = b, entonces, n √= √
a
b.
Ejemplo: Si x = 5, entonces, x = 5.
 Lapropiedad para la suma, nos dice en palabras que al sumar un mismo número en ambos
lados de una igualdad, obtenemos una nueva igualdad válida.
 La propiedad para la resta, nos dice que al restar un mismo número en ambos lados de una
igualdad, obtenemos otra igualdad válida.
 La propiedad para la multiplicación, nos dice en palabras que si multiplicamos ambos lados
de la igualdad por un número real,obtenemos otra nueva igualdad válida.
 La propiedad para la división, nos dice que si dividimos ambos lados de la igualdad por un
número real (distinto de cero), obtenemos otra nueva igualdad válida.
 La propiedad de la igualdad para la potencia indica que, si elevamos a la misma potencia
ambos lados de una igualdad, ésta se sigue cumpliendo.
 La propiedad de la igualdad para la raíz nosdice que si calculamos la raíz n-ésima en
ambos lados de una igualdad (si esta operación es posible de realizar), la igualdad sigue
siendo válida. Por ejemplo puede ocurrir que obtengas:
3 x + 1 = −5
y desees calcular la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. En este caso NO podemos
aplicar esa propiedad, porque no es posible calcular la raíz cuadrada de −5 (por ahora1 ).
Para...