Determinacion De La Ecuacion De Una Linea Recta

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ECUACION DE UNA LINEA RECTA
Veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n
Se considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también comoforma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
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Respecto aesto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje deordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto),que llamaremos b (no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Conocida la fórmula de la ecuaciónprincipal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.
Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que laecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación
y= 3x + 10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:
Y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar
3x – y + 10 = 0
Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos la información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación:
y = – 5x + b
Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + bDespejamos la variable b en:
2 = – 5 (1) + b
2 = – 5 + b
2 + 5 = b
b = 7
Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7
La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.
La cual también podemos expresar en su forma general:
y = – 5x + 7
y + 5x – 7 = 0 La cual ordenamos y queda: 5x + y – 7 = 0
Pendiente de una Recta
Con respecto a la...