Funciones multivariadas y ecuaciones de la linea recta

 FUNCIONES MULTIVARIADAS
En muchas funciones matemáticas, el valor de una variable dependiente depende de más de una variable independiente. Se da el nombre de funciones multivariadas a las que contienen más de una variable independiente.
Una clase de funciones multivariadas es la de las funciones bivariadas. Éstas tienen dos variables independientes. La notación
z = f(x, y)
 indica que lavariable dependiente z depende de los valores de las dos variables independientes x y y . He aquí un ejemplo de una función bivariada:

La notación para evaluar las funciones multivariadas es análoga a la de las funciones de una variable independiente. Por ejemplo si queremos evaluar f(x, y) cuando x=0 y y=0, esto se denota mediante f (0,0). En la función precedente
 
Al aumentar el número devariables independientes, se vuelve complicado utilizar la convención de una letra diferente para representar cada variable independiente. Por ello una manera práctica de representar funciones multivariadas es servirse de variables subíndice.
Ejemplo 2.1.2
 En la función

ECUACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA
La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:
y = mx + b
(O con otras letras)¿Qué significa?
|   | |
Gradiente | Intersección Y |
  |
y = cuánto arribax = cuán lejosm = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea)b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y) |
Sabiendo esto podemos encontrar la ecuación de una línea recta:
Ejemplo 1

m |  =  | 2 |
|
1 |
|  =  | 2 |

b = 1
Por lo tanto | y = 2x + 1 |

Ejemplo 2

m |  =  |3 |
|
-1 |
|  =  | –3 |

b = 0

Esto nos da y = –3x + 0
¡No nos hace falta poner el cero!
Por lo tanto | y = –3x |
Puedes ver el efecto de diferentes valores de m (la pendiente) y de b (la intersección y) en Explora el gráfico de una línea recta
Nota :Hay varias "notaciones" diferentes
Aquí usamos: | y = mx + b |
Otra que también se usa es: | y = mx + c |
Y en otrossitios: | y = ax + b |
... pero todas significan lo mismo, sólo cambian las letras.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)

Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre eleje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDA SU PENDIENTE M Y SU INTERCEPTO B CON EL EJE Y
Considere una recta l dela que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.) 

fig. 4.7.
Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.

Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB =b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.
. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida
Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también esconocida.
fig. 4.8

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:
                y = mx + b             (1)
Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
                 y1 = mx1 + b          (2)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x –...