Determinates

Determinantes.
Nos proponemos definir el determinate de una matriz Anxn.

Para matrices 2x2



Para matrices 3x3:



Ejemplo:



1(-2) - 1(2) + (-1) 0 = -2 -2 = - 4

Parageneralizar a matrices nxn definimos para cada 1  i, j  n “le menor i, j ” de una matriz nxn :




La menor i, j de A es la matriz (n-1)x(n-1) obtenida de A por eliminación de la filai y la columna j en A. Mostramos a continuación la menor de A con la fila (i) y columna (j) eliminadas rayadas



Ejemplos:


A continuación mostramos todas las menores de la últimamatriz:



El cofactor i, j de una matriz nxn es Aij = (-1)i + j |Mij| (hasta ahora sólo podemos hablar de cofactores de matrices 4x 4 a lo sumo, pues sus menores son 3x3 y se sabe cómo calcularesos determinantes)
Ejemplos:



sus menores fueron calculadas, por lo tanto sus cofactores son:






A11 = (-1)1+1 | M11 | = = -5, A13 = (-1)1+3 = -1 y A14 = (-1)1+4 = 3El estudiante debe verificar las cuentas.

Definimos ahora para matrices A4x4=(aij) su determinante como
det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14 con lo cual se puede ahora calcular eldeterminante de una matriz 4x4 y los cofactores de una matriz 5x5, con los cofactores de una matriz 5x5 se puede calcular el determinante de una matriz 5x5 y los cofactores de una matriz 6x6...y asísucesivamente el determinante de cualquier matriz cuadrada.

Por ejemplo, el determinante de una matriz 4x4:



det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 = 1(-5) + 0A12 + 2(-1) + 1(3) =-4.

Para matrices nxn en general la definición formal del determinante es como sigue:





la definición de determinante que hemos dado es lo que se conoce como el desarrollo por laprimera fila de la matriz A pues los cofactores se multiplican por la entrada de la primera fila de la matriz A y luego se suman. Se puede probar, y se hace en dos artículos en el enlace Notas del...