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12. RESPUESTA EN FRECUENCIA

12.1 CONCEPTO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA


Con el término respuesta en frecuencia, se quiere decir la respuesta en estado estacionario de un sistema a una entrada sinusoidal. En los métodos de respuesta en frecuencia, variamos la frecuencia en la señal de entrada en un cierto rango y estudiamos la respuesta resultante.

La ventaja del método de respuesta enfrecuencia radica en que los test son en general simples y pueden hacerse de forma precisa mediante el empleo de generadores de señales sinusoidales y de buenos equipos de medida a menudo las funciones de transferencia de componentes complicados se pueden determinar experimentalmente con los test de respuesta de frecuencia.

Aunque la respuesta en frecuencia de un sistema de control muestra unavisión cualitativa de la respuesta transitoria, la correlación entre la respuesta en frecuencia y transitoria es indirecta, excepto en el caso se sistemas de segundo orden. Al diseñar un sistema lazo cerrado ajustamos la característica de respuesta en frecuencia de la función de transferencia en lazo abierto utilizamos algunos criterios de diseño con el fin de obtener unas características derespuesta transitoria para el sistema aceptable.



12.2 DEMOSTRACIÓN DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA


Considere la respuesta en el tiempo de un sistema el cual es excitado por una entrada senoidal de la forma:



Donde A= amplitud
w= frecuencia

La cual depende del tiempo








W(s): Función de respuesta




Como


Entonces


Comoentonces




Resolviendo por fracciones parciales




(1)

(2)
Reemplazando (1) en (2)



Entonces queda







Donde





Aplicando la fórmula Transformada con números complejos





Como




Entonces















Por definición











Reemplazando los valores en la fórmula en





Queda




Resolviendo laecuación



Como




Entonces




12.3 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE RESPUESTA EN FRECUENCIA

1.

Como sabemos que



Donde A= amplitud
w= frecuencia

Entonces se puede decir que
A= 5
w= 3

Se halla R(w) que es igual



Entonces


Reemplazamos el valor de w en W(s)




Recuerde que :



Resolviendo queda


Luego hallamosque es igual a




Por la propiedad de los ángulos tenemos que

















Como entonces



Reemplazando en la forma del Y (t) queda




2.










a) Hallar la frecuencia en función de C

Se halla la función de transferencia en función de





Aplicando transformada

(1)

Como entonces





Reemplazando I(s) en (1) quedaResolviendo queda





Al igual que en el ejercicio anterior hallamos R(w) y para hallar la frecuencia

































13. GRAFICAS DE BODE

13.1 CARACTERÍSTICAS


1. Se parte de la Función de Transferencia en notación polar se trabaja con ganancias logarítmicas .
2. El ángulo de fase en grados .
3. El diagrama se hace a partirdel trazado de las formas canónicas ya que la Función de Transferencia en notación polar se puede descomponer , lo que facilita el trazado del diagrama.
4. El proceso de obtener la traza logarítmica se simplifica, mediante aproximaciones asintóticas para las curvas de cada factor.


13.2 CASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE BODE

13.2.1 GRAFICA DE BODE PARA LA MAGNITUD


CASO 1

Polo deprimer orden



Forma de constante de tiempo



Evaluar



Aplicamos logaritmo y la norma







Examinamos el comportamiento asintótico de












Pendiente


= -1















CASO 2

Cero de primer orden



Forma de constante de tiempo



Evaluar


Aplicamos...