dibujo

La homotecia tiene innumerables aplicaciones: dibujo a escala (construcción de planos), en astronomía (por ejemplo: medir el diámetro del Sol), en Geometría Fractal no permite caracterizar a cualquier objeto con una dimensión aproximada de la dimensión topológica, etc.
Aplicación:
Deseamos construir un túnel que unaa ambas ciudades por los puntos T y L (ambos puntos a igual altitud) del granmonte Uni, y cuya construcción demore el menor tiempo posible.
Resolución:
Para construir el túnel en el menor tiempo posible se tiene que empezar a trabajar por ambos frentes. Los ingenieros que están situados en los puntos T y L, no ven los puntos L y T, respectivamente, es decir, no saben la dirección que tienen que seguir.
Debido a que necesitamos la dirección para empezar laconstrucción ambos ingenieros idearon lo siguiente:

Analizaron el borde contorno de la base del monte y midieron convenientemente las longitudes TU, UN, NE, EL, tal que: (TU) ̅⊥(UN) ̅ ,(UN ) ̅⊥(NE) ̅,y (NE) ̅⊥(EL) ̅. Obteniendo la siguiente figura:




Se construye el triángulo rectángulo TAL, trazando paralelas a (UN) ̅ y (EN) ̅ . Conocidos solamente TA y AL construiremos, fácilmente,el triángulo TOS, de manera que sea homotético al TAL, donde TO y SO son paralelos y proporcionales a TA y LA, respectivamente. Sólo habrá que prolongar la línea ST para obtener la dirección por la cual se construye el túnel. Por otra parte si queremos calcular la longitud del túnel solo debemos usar el teorema de Pitágoras.



El arco capaz sirve para la determinación de un punto en el plano.El arco capaz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento con un ángulo determinado. O lo que es lo mismo, el conjunto de los puntos del plano tales que el ángulo con vértice en ese punto y cuyos lados pasan por los extremos del segmento mide un determinado valor.
En el ejemplo, he colocado un ángulo de 60º.
-Se traza la perpendicular a la recta.
-El punto de corte de dicha perpendicular con la mediatriz es el centro del arco buscado.
-Finalmente, se traza el arco de centro y radio

Pero, ¿por qué funciona? La demostración no se suele enseñar en dibujo técnico, por lo menos a mi no me la explicaron, aunque es elemental. Necesitamos antes unos conceptos básicos de geometría:
Ángulo central es que tiene su vértice en el centrode la circunferencia. Sus lados son radios y mide el arco que abarca de la misma. Por ejemplo, el ángulo del dibujo inferior, marcado en verde.
Ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia, y los lados son rectas


secantes. Mide la mitad del arco que abarca. En el dibujo, es , marcado en rojo, y por lo que acabamos de decir mide la mitad de

Volvamos ahora a laconstrucción. El triangulo (en azul) es isósceles, por estar en la mediatriz de . Por tanto, . Además, , por ser la perpendicular.











Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º, tenemos que:


Por lo que Y como un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo que abarca, tenemos que , para un punto cualquiera de la circunferencia, que es lo queríamosdemostrar.
El concepto de arco capaz es muy útil, por ejemplo, en problemas de resolución de triángulos.
Aplicación:
Imaginemos que estamos navegando en un barco y queremos saber nuestra posición, puesto que cerca de donde estamos hay un banco de arena donde se nos podría quedar encallado. Nos asomamos por la borda y vemos el faro de Cabo Palos, y a babor el faro de las islas Hormigas. Tambiénapreciamos isla Grosa, a nuestra espalda. El lector ya se habrá podido imaginar que nos encontramos cerca de las costas de La Manga del Mar Menor.
Pues bien, con estos tres puntos que tenemos identificados, y algún instrumento para medir el ángulo entre ellos, es suficiente para encontrar nuestra posición en el mapa, sin medir distancias ni efectuar ningún cálculo.
Imaginemos que los ángulos en...