Diferencia de medias, estadística

Direccion: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03d.html
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS
En esta sección se verá el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias Si los tamaños demuestras n1 y n2 son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribución normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeñas se supone que las poblaciones de interés están distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribución t.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS DISTRIBUCIONES NORMALES, VARIANZASDESCONOCIDAS PERO IGUALES
Si s12 y s22 son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100() por ciento para la diferencia entre medias es:

en donde:

es el estimador combinado de la desviación estándar común de lapoblación con n1+n2 – 2 grados de libertad.
Ejemplos:
1. Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras decemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de losdos tipos de cementos. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.
Solución:
El estimador combinado de la desviación estándar es:

Al calcularle raíz cuadrada a este valor nos queda que sp = 4.41

expresión que se reduce a – 0.72 6.72
Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivelconfianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.

2. Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayarcada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.
Medicamento A
Medicamento B
nA = 12
nB = 12


SA2= 15.57
SB2 = 17.54
Solución:


2.35 9.25
Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar unnivel específico es mayor para el medicamento B.
PRUEBA SOBRE DOS MEDIAS, POBLACIONES NORMALES, VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES
Las situaciones que más prevalecen e implican pruebas sobre dos medias son las que tienen varianzas desconocidas. Si el científico prueba mediante una prueba F, que las varianzas de las dos poblaciones son iguales, se utiliza la siguiente fórmula:

donde:

Losgrados de libertad están dados por:

Ejemplos:
Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:
Con Tratamiento
2.1
5.3
1.4
4.6
0.9
Sin Tratamiento...