Diferenciales

º yk=y0+k*∆y0+k*(k-1)2!*∆2y0+k*k-1*(k-2)3!*∆3y0+k*k-1*k-2*(k-3)4!*∆4y0+…

Donde: k=xk-x0h
xk Es el valor dado para interpolar
x0 Es el valor anterior a Xk existente en la tabla
h Es el incremento decremento en los valores de x tabulados
X | Y | ᅀY | ᅀY | ᅀY | ᅀY |
-3 | 47.00000000 | -18.99609375 | 5.3046875 | -0.98437500 | 0.09375000 |
-2.75 | 28.00390625 | -13.69140625 | 4.3203125| -0.89062500 | 0.09375000 |
-2.5 | 14.31250000 | -9.37109375 | 3.4296875 | -0.79687500 | 0.09375000 |
-2.25 | 4.94140625 | -5.94140625 | 2.6328125 | -0.70312500 | 0.09375000 |
-2 | -1.00000000 | -3.30859375 | 1.9296875 | -0.60937500 | 0.09375000 |
-1.75 | -4.30859375 | -1.37890625 | 1.3203125 | -0.51562500 | 0.09375000 |
-1.5 | -5.68750000 | -0.05859375 | 0.8046875 | -0.42187500 |0.09375000 |
-1.25 | -5.74609375 | 0.74609375 | 0.3828125 | -0.32812500 | 0.09375000 |
-1 | -5.00000000 | 1.12890625 | 0.0546875 | -0.23437500 | 0.09375000 |
-0.75 | -3.87109375 | 1.18359375 | -0.1796875 | -0.14062500 | 0.09375000 |
-0.5 | -2.68750000 | 1.00390625 | -0.3203125 | -0.04687500 | 0.09375000 |
-0.25 | -1.68359375 | 0.68359375 | -0.3671875 | 0.04687500 | 0.09375000 |
0 |-1.00000000 | 0.31640625 | -0.3203125 | 0.14062500 | 0.09375000 |
0.25 | -0.68359375 | -0.00390625 | -0.1796875 | 0.23437500 | 0.09375000 |
0.5 | -0.68750000 | -0.18359375 | 0.0546875 | 0.32812500 | 0.09375000 |
0.75 | -0.87109375 | -0.12890625 | 0.38281250 | 0.42187500 | |
1 | -1.00000000 | 0.25390625 | 0.80468750 | | |
1.25 | -0.74609375 | 1.05859375 | | | |
1.5 | 0.31250000 | || | |

1.- Interpolar para xk=-1.40
-1.5 | -5.68750000 | -0.05859375 | 0.8046875 | -0.42187500 | 0.09375000 |

2.-Calculamos k
k=xk-x0h=-1.40-(-1.50).25=25=0.4
3.- Sustituimos en la serie de Newton
yk=-5.6875+0.4*-0.05859375+0.4*0.4-12!*0.8046875+0.4*0.4-1*0.4-23!*-0.421875+0.4*0.4-1*0.4-2*0.4-34!*0.09375
yk=-5.8384
1.- Interpolar para xk=0.2
0 | -1.00000000 | 0.31640625 |-0.3203125 | 0.14062500 | 0.09375000 |

2.-Calculamos k
k=xk-x0h=0.2-0.25=25=0.4

Para xk=1.15 existen dos formas de resolver este problema:
a) Completar todas las diferencias hacia atrás (sólo se puede cuando las enésimas diferencias son constantes).
b) Invertir los datos (x,y) y obtener nuevamente la tabla de diferencias, tomando en cuenta que en este caso h será negativo.ECUACIONES EN DIFERENCIAS:
Obtener la primera y segunda diferencia del polinomio yx=x2-2*x-5 en función de:
a) x y h
b) x, con h=1
∆yx= yx+h-yx; Primera diferencia
Aplicando la primera diferencia a la función y(x), tenemos:
∆yx=x+h2-2x+h-5-(x2-2*x-5)
∆yx=x2+2xh+h2-2x-2h-5-x2+2x+5
∆yx=2xh+h2-2h
Con h=1;
∆yx=2x(1)+(1)2-2(1)
∆yx=2x+1-2=2x-1

Para obtener la segunda diferencia ∆2yxde yx, aplicamos la primera diferencia a la ecuación obtenida como primera diferencia: ∆y∆yx=∆2yx
∆2yx=2x+h-1-2x-1
∆2yx=2x+2h-1-2x+1
∆2yx=2h Con h=1; ∆2yx=2
yx=2x4-13x3+x2-3x+4
a) x y h
b) x, con h=1
∆yx=2(x+h)4-13(x+h)3+(x+h)2-3x+h+4-(2x4-13x3+x2-3x+4)
∆yx=2(x+h)4-13(x+h)3+(x+h)2-3x+h+4-2x4+13x3-x2+3x-4∆yx=2h4+8h3x+12h2x2+8hx3+2x4-h33-h2x-hx2-x33+h2+2hx+x2-3x-3h+4-2x4+13x3-x2+3x-4
∆yx=2h4+8h3x+12h2x2+8hx3-h33-h2x-hx2-x33+h2+2hx-3h+13x3
∆yx=2(1)4+8(1)3x+12(1)2x2+81x3-133-12x-(1)x2+12+2(1)x-3(1)
∆yx=2+8x+12x2+8x3-13-x-x2+1+2x-3
∆yx=8x3+11x2+9x-13
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∆2yx=8(x+h)3+11(x+h)2+9x+h-13-(8x3+11x2+9x-13)∆2yx=8(x+h)3+11(x+h)2+9x+h-13-8x3-11x2-9x+13
∆2yx=8h3+3h2x+3hx2+x3+11x2+2xh+h2+9x+9h-13-8x3-11x2-9x+13
∆2yx=8h3+24h2x+24hx2+8x3+11x2+22xh+11h2+9x+9h-13-8x3-11x2-9x+13
∆2yx=8h3+24h2x+24hx2+22xh+11h2+9h
∆2yx=8(1)3+24(1)2x+24(1)x2+22x(1)+1112+9(1)
∆2yx=8+24x+24x2+22x+11+9
∆2yx=24x2+46x+28
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