Diferenciales

Diferencial

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
DIFERENCIAL
DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
Sea una función y = f ( x ) .
Se define como la diferencial de la variable independiente a: dx = ∆x
Se define como la diferencial de la variable dependiente a: dy = f ' ( x ) ⋅ dx
Esto significa que la diferencial de la variablex es por definición igual al incremento que experimenta,
sin embargo, la diferencial de la variable y no es igual su incremento:

dx = ∆x
dy ≠ ∆y
Sea una función y = f ( x ) . Dado un punto
tendrá otro punto

Q

de abscisa

P de abscisa x , si se le dota de un incremento ∆x , se

x + ∆x . Ahora, si se traza la tangente a la curva en el punto P (x, y ) , y

desde x + ∆x se levantauna paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente, se
aprecia claramente como la diferencial dy y el incremento ∆y no son iguales.

y = f(x)
y
Q(x+∆x, y+∆y)
∆
∆

S(x+∆x, y+dy)
∆

∆y

dy
P(x,y)
dx = ∆x
x

Ejemplo.
Obtener la diferencial
Solución:

dy

de la función

y = 4x 2 − 6x + 5 .

dy = (8 x − 6 ) dx

1

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Ejemplo.
Sea

y = x 2 , comprobar que dy ≠ ∆y .

Solución:
Obteniendo la diferencial de y :

dy = 2 x ⋅ dx

y : ∆y = ( x + ∆x ) − x 2 = x 2 + 2 x∆x + (∆x ) − x 2 = 2 x∆x + (∆x )
Comparando ambos resultados, se observa como dy ≠ ∆y .
2

Obteniendo el incremento de

2

2

Si se traza una figura, lo anteriorse comprueba:

∆x

dx
x

x

x

x

x

x

x
x
∆x

dx
dy = 2x·dx

≠

Área sombreada

∆y
∆ = 2x·∆x + (∆x)2
∆
∆
Área sombreada

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIAL
1) La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el
incremento

∆x

que se ha tomado.

2) Al ser dy = f ' ( x ) ⋅ dx , la diferencial de una función en un puntoes el incremento de la ordenada de la
tangente al aumentar en

∆x

un punto de abscisa x .

3) Si se considera la función y = f ( x ) , se tiene que: dy = f ' ( x ) ⋅ dx , y pasando

dx

al primer miembro:

dy
= f ' ( x ).
dx
Por lo tanto, se puede establecer que la derivada es un cociente de diferenciales:

f ' (x ) =

dy
.
dx

f ( x + ∆x ) − f ( x )
, de la noción delímite se deduce que cuando ∆x es
∆x
dy
f ( x + ∆x ) − f (x )
infinitamente pequeño, el cociente
es prácticamente igual a
, y puesto que
dx
∆x
dx = ∆x , dy es prácticamente igual a f (x + ∆x ) − f (x ) , es decir, que dy ≈ ∆y . Esta propiedad
permite sustituir dy por ∆y cuando ∆x es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será
4) Puesto que

f ' ( x ) = lim

∆x→0mínimo.
2

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CÁLCULO DE DIFERENCIALES
Para efectuar el cálculo de la diferencial general

dy

de una función y = f ( x ) , basta con aplicar las

fórmulas de derivación y después multiplicar el resultado por
Ejemplos.
Obtener la diferencial

dy

de las siguientes funciones:

y = −4x 3 + 10 x 2 − 5 x + 7
dy = (− 12 x 2 + 20 x − 5)dx
9
2) y = 3
x
−3
y = 9x
27
dy = −27 x −4 dx = − 4 dx
x
1)

( )
y = (8x )
7
dy = (8 x ) (24 x )dx = 42 x
4

3)

y = 4 8x 3

7

7
3 4

3
3 4

2

4)

y = ln 12 x 5

8 x 3 dx

y = 4sen 5 x 3

7)

2 4

dy = 4(15 x 2 )cos 5 x 3 dx = 60 x 2 cos 5 x 3 dx
2 4x
5) y = 6 x e
dy = (6 x 2 (4e 4 x ) + e 4 x (12 x))dx
−1
6) y = 7 cos 9 x
7(9)
63
dy = −
dx = −
dx
2
1 − 81x 2
1 − (9 x )

(

)

8

y = 8 ln12 x 5

(

)

8 60 x 4
40
dx = dx
5
12 x
x
6
8) y =
11x 4
dy =

(

y = 6 11x 4

dy = −

(

)

−

1
2

6
11x 4
2

) (44 x )dx = −
−

3
2

3

y = 5 x tan (tan 4 x )
y = 5 x(4 x ) = 20 x 2

9)

132 x 3

(11x )

4 3

dx

−1

3

dx...