Diferenciales

1.2 Definición y Ejemplos.

Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en
las cercanías del punto de tangencia PT,
si le llamamos
( ) ( ) o o f  f x  h  f x a la
variación de f cuando xvaría de xo a xo + h y
RT
a la variación de la recta tangente en el
mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas
dos variaciones son muyparecidas, es decir, f  RT .

Podemos expresar a RT en términos de h y el ángulo  que forma la recta tangente con el
eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos acontinuación, se observa lo
siguiente:








R h R f x h
h
R
T T o
T
tan    (tan )   
'( )

  

En virtud de que RT es un aproximador de la DIFERENCIA f, lodefiniremos como EL
DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por
df, es decir,


RT
h
xo xo + h
f
RT
PT = (xo
, f(xo))
f (x)
RT (x) 4
df =f '(xo)h


Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el
diferencial de f(x) = x
2
es:

df = f ' (xo)h = (2xo)h

que también lo podemosexpresar como:

d(x
2
) = (2xo)h

Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en
los siguientes ejemplos:

a) El diferencial de f(x) = x
2
en xo=3 es d(x
2
) = 6h
b) El diferencial de f(x) = x
2
en xo =7 es d(x
2
) = 14h
c) El diferencial de f(x) = x
3
en xo =2 es d(x
3
) = 12h

En el caso de la función identidad f(x) =x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos
queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h

Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una...