diferenciales

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CÁLCULO I
( DIFERENCIACIÓN EN  )
INTRODUCCIÓN
EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD DE UN MÓVIL
Un móvil se desplaza t3 metros durante los t primeros minutos de su viaje,
siendo t el tiempo transcurrido. Queremos saber qué tan rápido se mueve
al cabo de 2 minutos.

Sabemos que la velocidad media se define como la razón entre el
espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo. Lo que sedesea
conocer es la velocidad instantánea del móvil al cabo de 2 minutos.
Para ello, podemos comenzar calculando velocidades promedio del
móvil durante pequeños intervalos de tiempo.
Consideremos, en primer lugar, t = 2 y t1 = 2,1
Al principio del intervalo, el móvil se ha desplazado 23 = 8 metros
Al final del intervalo, el móvil se ha desplazado 2,13 = 9,261 metros

2

Entonces, en 0,1minutos se ha movido 9,261 – 8 = 1,261 metros.

Su velocidad promedio en ese intervalo de tiempo será

1, 261
 12, 61 m / min
0,1

Esto es una estimación de la velocidad en el tiempo t = 2 minutos
Para lograr mayor exactitud, se utilizan intervalos de tiempo más
pequeños, incluso en atraso en lugar de en adelanto:

t1  2, 01

2, 013  23
v
 12, 0601 m / min
0, 01

t1  1,9923  1,993
v
 11,9401 m / min
0, 01

t1  2, 001

3

2, 0013  23
v
 12, 006 m / min
0, 001

Estos valores estimados son también aproximaciones a la velocidad
en el tiempo t = 2 minutos.
Lo que en realidad se quiere encontrar es el valor del cociente:

t3  8
t2

 8  t3

 2t


si en atraso 


cuando t se aproxima a 2.
Es decir:

 t3  8 
lim  lim  t 2  2t  4   12 m / min

t 2
 t  2  t 2
Resultado sugerido por las estimaciones de la velocidad promedio
calculadas anteriormente.

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0
0
La simplificación del factor común del numerador y denominador, t – 2 ,
es factible pues el que t  2 significa, por la definición de límite, que t
nunca es 2, aunque se aproxime a dicho valor tanto como queramos.

Observar quepara t = 2 el cociente cuyo límite se calcula es

Si denominamos S a la función de posición que nos proporciona la
situación respecto al origen del móvil como función del tiempo t, y
consideramos un lapso de tiempo t, contado a partir del instante t,
tenemos que:
S = S(t+t) – S(t) es el cambio de distancia
Entonces, la velocidad media, razón media del cambio de la
distancia respecto altiempo, viene dada por:

S
t
La velocidad “instantánea” , en el instante t, viene dada por:

S(t  t )  S(t )
 S(t )
t 0
t

V (t )  lim
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Análogamente, se ve que la aceleración es la derivada de la
velocidad con respecto al tiempo.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Definición: Dada una función f(I, ), y un punto x0I, se denomina
derivada de f(x) en x0 alsiguiente límite, si existe:

f ( x 0  h)  f ( x 0 )
k
f ( x 0 )  Df ( x 0 )  lim  lim
h0 h
h0
h

Si este límite existe (es un
valor real), su valor será la
derivada de f en x0 y se dice
que f es derivable en x0.

y

y = f(x)

h  x1  x 0  x1  x 0  h

f(x1)

En f(I, ): a cada h(>0 ó 0
Resolución:

 x h
 h
ln 
ln 1  

f ( x  h)  f ( x )
ln( x h)  ln x
 x   lim  x  
f ( x )  lim
 lim
 lim
h0
h0
h0
h0
h
h
h
h
h
1 1
h
h 1


x
 llamando 1   u   Si u  1: ln u  u  1  lim
 lim

h0
x 0 xh
x
h
x


En x 0 sería : f '( x 0 ) 

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1
con x 0  0, ya que f (x ) sólo  para x  0
x0

DERIVADA A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA DE UN PUNTO
Derivada de f(x) con respecto a x, ala derecha de x0:
Se denomina derivada de f(x) a la derecha del punto x = x0, al
siguiente límite, si existe:

f ( x 0 )  lim

h0

f ( x  h)  f ( x )
 l1
h

con l1

Derivada de f(x) con respecto a x, a la izquierda de x0:
Se denomina derivada de f(x) a la izquierda del punto x = x0, al
siguiente límite, si existe:

f ( x 0 )  lim

h0

f ( x  h)  f ( x )...