Digital

Cap´tulo 1: Sistemas Lineales
ı

Posgrado en Ingenier´ Mecatr´nica
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o

o


Control Digital Avanzado MEC503

Sistemas Lineales Sistemas Lineales Discretos Sistemas Lineales Discretos Sistemas Lineales Discretos Sistemas Lineales Discretos Sistemas discretos caso esca

Sistemas Lineales

Un sistema lineal ser´ representado por un modelo din´mico con la siguiente estructura mateaa
m´tica:
a
˙
x = Ax + Bu (t )
y = cT x

(1)
(2)

donde x ∈ IRn representa la variable de estado (soluci´n de la ecuaci´n diferencial)
o
o

x = x (t ) ∀t ≥ 0

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Cap´
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Sistemas Lineales Discretos
Un sistema lineal continuo est´ representado por ecuaciones diferenciales (sistema din´mico).
a
a

˙
x = Ax + Bu (t )
y = cT x

(3)
(4)

Un sistema lineal discreto est´ representado por ecuaciones de diferencias, con la siguiente
a
estructura matem´tica:
a

x (tk) = Φx (tk −1 ) + Γu (tk −1 )
y (tk ) = c T x (tk )

(5)
(6)

donde x (tk ) ∈ IRn representa la variable de estado en tiempo discreto, Φ ∈ IRn ×n , Γ ∈ IRn ×1 .

x = x (tk ) con k = 1, 2, · · · n

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Sistemas Lineales Discretos

Tiempo discreto
tk = kh ⇒ {t1 , t2 , t3 , · · · , tn }

k ∈ N , h ∈ IR+ es conocido como el periodo de muestreo. Una vez que es seleccionado h se convierte en
un par´metro constante. El tiempo discreto es m´ltiplo del periodo de muestreo h .a
u
tk +1 − tk = (k + 1)h − kh = h
tk − tk −1 = kh − (k − 1)h = h

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SistemasLineales Discretos
˙
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
y (t ) = c T x (t )
G (s ) =
En el dominio del tiempo: s =

d
;
dt

y (s )
= c T sI − A
u (s )

−1

B

˙
¨
x = s x (t ); x = s 2 x (t ).

˙
x (tk ) = Ax (tk ) + Bu (tk ) Observador o predictor

x (tk ) = Φx (tk −1 ) + Γu (tk −1 )
y (tk ) = c T x (tk )
−1

I − z −1 Φ x (z ) = Γz −1 u (z ) ⇒ y (z ) = c T x (z ) = I − z −1 Φy (z )
−1
−1
G (z ) =
= I − z −1 Φ
Γz −1 = zI − Φ
Γ
y (z )

Γz −1 u (z )

En el dominio del tiempo discreto: x (tk −1 ) = z −1 x (z ); x (tk +1 ) = z 1 x (z ); x (tk +2 ) = z 2 x (z );
x (tk −2 ) = z −2 x (z )
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Sistemas Lineales Discretos

˙
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
y (t ) = c T x (t )

h

x (tk ) = e

Ah
Φ

ΦBdh u (tk −1 )

x (tk −1 ) +
0

Γ

= Φx (tk −1 ) + Γ u (tk −1 )
y (tk ) = c T x (tk )
Regla de transformaci´n
o
Para trasnformar unsistema continuo a un sistema discreto se realiza de acuerdo a la siguiente regla:
Φ = e Ah
h
Γ = 0 ΦBdh

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