DINAMICA DE ROTACIÓNAL CON ACELERACION ANGULAR CONSTANTE


DINAMICA DE ROTACIÓNAL CON ACELERACION ANGULAR CONSTANTE

Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propiavelocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido. En este capítulo se tratará la rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo, conocido como movimiento rotacional puro.


ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.

Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cada partícula delcuerpo rígido tiene energía cinética de traslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía cinética es:


Eci = mivi2


Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de rotación, y se relacionan por vi = ωri. Entonces la energía cinética de la partícula i es:

Ei = mi (riω)2 = miri2ω2


La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de cada partícula individual, esto es:


Ei = ∑Ei = ∑ 1 miri2ω2 = 1⎜⎛∑ 1 miri2 ⎟⎞ω2
2 2⎝ 2 ⎠


donde se factorizó ω2 porque es la misma para todo el cuerpo rígido. A la cantidad entre paréntesis en la ecuaciónanterior se la define como el momento de inercia, I, del cuerpo rígido:


I =∑miri2


De la definición momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son kg·m2. Con esta definición, se puede escribir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido como:


(8.1)


La energía cinética de rotación no es un nueva forma de energía, sino que es el equivalente rotacional de laenergía cinética de traslación, se dedujo a partir de esa forma de energía. La analogía entre ambas energías ½ mv2 y ½ Iω2 es directa, las cantidades I y ω del movimiento de rotación son análogas a m y v del movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidad conocida, igual que m, por lo que generalmentese da como un dato. Pero existen técnicas del calculo integral para calcular I, y teoremas asociados, que no se usarán en este curso.

El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto. En la siguiente tabla 8.1 se dan los momentos de inercia respecto al centro de masa de figuras geométricas conocidas, de distribución de masa homogénea,cuando giran en torno al eje que se indica.

TABLA 8.1

Objeto (de masa M)
Icm
Aro o cascarón cilíndrico de radio R, eje de rotación por su eje de simetría
MR2
Disco o cilindro sólido de radio R, eje de rotación por su eje de simetría
MR2
Cilindro hueco, de radios interno R1 y externo R2, eje de rotación por su eje de simetría
1 12 R22 ) M(R +
Esfera sólida de radio R, eje de rotaciónpor su eje de simetría
MR2
Cascarón esférico delgado de radio R, eje de rotación por su eje de simetría
MR2
Barra delgada de largo L, con eje de rotación por el centro
ML2
Barra delgada de largo L, con eje de rotación en el extremo
ML2
Placa rectangular de lados a y b, eje rotación en el centro perpendicular a la placa
M(a2 + b2 )


RELACIÓN ENTRE TORQUE Y ACELERACIÓN ANGULAR.Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 8.1, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la aceleración tangencial at por Ft = mat. El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es:
τ =Ft r = (mat)r

Como la at se...