Dirección Financiera

Límits i continuïtat

























1.1 Límit d’una funció a un punt
El límit d’una funció a un punt és el valor al qual s’acosten les imatges a mesura que les x s’apropen al punt a.
Utilitzarem la següent notació :

Llegiu l’esquema 1 per recordar com es calcula el límit a un punt.

1.2 Límit d’una funció al’infinit
El límit d’una funció a l’infinit és el valor al qual s’acosten les imatges a mesura que les x s’apropen a l’infinit .
Utilitzarem la següent notació:

Llegiu l’esquema 2 per recordar com es calcula el límit a l’infinit d’una funció

1.3 Propietats dels límits
a) Límit d’una constant és igual a la constant

b) Límit d’una suma (diferència) de funcions és la suma(diferència) dels límits

c) Límit d’un producte de funcions és el producte dels límits

d) Límit d’un quocient és el quocient dels límits

e) Límit d’una constant per una funció és la constant pel límit de la funció


1.4 Condicions de continuïtat
Perquè un funció sigui contínua en un punt x = a cal que :
1.
2. i sigui finit
3.
En cas quealguna d’aquestes condicions no es compleixi diem que la funció és discontínua.
Una funció és contínua en un interval, si és continua en cadascun dels punts d’aquest interval.

1.5 Tipus de discontinuïtat
Diem que una funció té una discontinuïtat de salt ( gràfic 1) si, els límits laterals són finits però no coincideixen
Diem que una funció té una discontinuïtat asimptòtica ( gràfic 2) si,algun dels límits laterals és infinit.
Diem que una funció té una discontinuïtat evitable ( gràfic 3) si, no existeix o bé aquesta no coincideix amb el valor del límit ( per aquest tipus de discontinuïtat podem definir una funció nova de forma que sigui contínua).

gràfic 1






gràfic 2





gràfic 3esquema 1








esquema 2













EXERCICIS RESOLTS

1. Calculeu els límits següents
a)

El que fem primer és substituir pel valor que estem estudiant el límit que és 4:

com que no ens dóna un valor finit, ja hem acabat.

b)

Hem de calcularel límit d’un producte de funcions. Per la propietat dels límits
tenim que


c)
El primer que hem de fer és substituir la x pel valor del punt on volem estudiar el límit. En aquest cas és el punt -1

aquest límit ens dóna una indeterminació del tipus 0/0. Seguint el passos de les indeterminacions, hem de factoritzar, simplificar i tornar a fer el límit.
Per descomposar el numerador femRuffini, i per descomposar el numerador resolem l’equació de segon grau, trobant així les arrels i podent escriure llavors els polinomis factoritzats:

Per tant, el límit queda de la següent forma:

d)

Aquí ens trobem una diferència de funcions, si fem el límit ens dóna -, el que hem de fer és arreglar-ho, és a dir fer l’operació de restar i, deixar només una fracció. Un cop fetaixò tornem a substituir per fer el límit. En el cas que tornéssim a estar davant d’una indeterminació es reduiria l’exercici a un límit com l’anterior.

e)
Veiem que quan comencem el límit ens dóna la indeterminació 0/0. Per resoldre’l multiplicarem el
numerador i el denominador pel conjugat i després tornarem a substituir pel valor.

e)

Les imatges dels valors propersa 0 per l’esquerra i per la dreta es calculen mitjançant la mateixa expressió analítica. Per tant:


Les imatges dels valors propers a 9 per l’esquerra es calculen mitjançant l’expressió analítica i les dels valors propers a 9 per la dreta, mitjançant . Per tant, haurem de calcular els límits laterals i veure si coincideixen o no , per saber si existeix o no el límit.

Com que els...