distibucion de variables aleatorias discretas

Distribución de variables aleatoria aleatorias discretas.
Como se sabe, la ley de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está definida si se conoce su distribución de probabilidad con o si se conoce su función de distribución F(x) teniendo que:

Distribución binomial.
  La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple lassiguientes condiciones:
1)     El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.
2)     Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.
3)     La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) esconstante en todas las pruebas. P (éxito) = p; P (fracaso) = 1 - p =q
4)     Las pruebas son estadísticamente independientes,
   En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de éxitos en las n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetosde un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.
La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x, n, p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito n y p son los parámetros de la distribución.

  La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, esutilizando

            
Esperanza matemática y varianza de la distribución binomial.
En una distribución binomial denotada por b (n, p), donde n es el número de repeticiones del experimento y p la probabilidad de que se produzca un cierto suceso (éxito), la esperanza matemática de la variable aleatoria X viene dada por la expresión siguiente:

Análogamente, la varianza de la variablealeatoria X, al ser ésta de tipo discreto, se calcula como:

Esperanza matemática y varianza de la distribución de poisson.
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:

Como vemos, este modelose caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.
Esta distribución suele utilizarse para contajes del tipo número de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.
Propiedades del modelo de Poisson
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.
3) La suma de dos variables aleatoriasindependientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:
X1 ~ P (λ = λ1)    y    X2 ~ P (λ = λ2)
y definimos Z = X1 + X2, entonces,
Z ~ P (λ = λ1 + λ2)
Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso,la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.
Esperanza matemática y varianza de la distribución geométrica.
La distribución Geométrica también está relacionada con una secuencia de ensayos de Bernouilli, excepto que el número de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribución geométrica hereda las características dela distribución binomial, a excepción del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad.
La esperanza matemática y la varianza de la distribución geométrica se obtienen de la siguiente forma:



Esperanza matemática y varianza de la distribución hipergeometrica.
Este modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposición de independencia de éste último....