Distintas formas del resto de taylor
Páginas: 17 (4224 palabras)
Publicado: 26 de noviembre de 2011
Distintas Formas del Resto de Taylor
Estela Maris Ben´ ıtez Julio 2010
1
INTRODUCCION: Los polinomios en una variable, con coeficientes reales, determinan funciones continuas y derivables. En muchas ocasiones, resulta conveniente aproximar una funci´n derivable no polin´mica mediante un polio o nomio particularmente elegido, y hallar la magnitud del error que se comete en esa aproximaci´n.o Analizaremos a continuaci´n el desarrollo del polinomio, el teorema y las distintas formas del resto de o Taylor para funciones de una variable, y despu´s la extenderemos a funciones de dos variables. e Polinomio de Taylor: Consideremos una funci´n cualquiera f (x) definida en un entorno de x = a, con n derivadas sucesivas o finitas en a, y un polinomio P (x) de grado n, de tal modo que en elpunto a, tenga el mismo valor e iguales n primeras derivadas que la funci´n f (x). o Es decir, sea P (x) el polinomio: P (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 . . . + cn (x − a)n Calculemos sus n primeras derivadas sucesivas: P (x) = 1!c1 + 2 c2 (x − a) + 3 c3 (x − a)2 + . . . + n cn (x − a)n−1 P (x) = 2! c2 + 6 c3 (x − a) + . . . + n (n − 1) cn (x − a)n−2 P (x) = 3! c3 + . . . + n (n −1) (n − 2) cn (x − a)n−3 . . . P (n) (x) = n! cn reemplazando en el punto a, obtenemos: P (a) = c0 P (a) = 1! c1 P (a) = 2! c2 P (a) = 3! c3 . . . P (n) (a) = n! cn por lo tanto P (a) = c0 , P (a) = c1 , 1! P (a) = c2, 2! P (a) P (n) (a) = c3, . . . , = cn 3! n!
(1)
como se desea que los valores de P (x) coincidan en x = a con los de f (x), conjuntamente con las n primeras derivadasrespectivas, nos queda que: f (a) = c0 , f (a) = c1 , 1! f (a) = c2 , 2! f (a) f (n) (a) = c3 , . . . , = cn 3! n!
luego, sustituyendo en (1): P (x) = f (a) + f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
obtenemos entonces, un polinomio de aproximaci´n unico para f (x), denominado polinomio de Taylor de o ´ orden n entorno de x = a.
2
Definici´n 0.1 Si la funci´n f (x)tiene derivadas hasta el orden n-´simo en x = a, entonces el polinomio o o e de Taylor de orden n de f (x) en a se define como: P (x) = f (a) + f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
Cuando a = 0, el polinomio recibe el nombre de Polinomio de Mac-Laurin: P (x) = f (0) + f (0) f (0) 2 f (n) (0) n x+ x + ... + x 1! 2! n!
F´rmula de Taylor para funciones de unavariable: o Esta f´rmula representa una funci´n esencialmente arbitraria, aunque suficientemente derivable, definida o o en un entorno de un punto a, como la suma entre su polinomio de Taylor y un t´rmino de correci´n llamado e o resto o t´rmino complementario : e f (x) = Pn (x) + Rn (x) o o El resto de Taylor, Rn (x), permite estimar la aproximaci´n obtenida de la funci´n, ya que es la diferencia entre elvalor de la funci´n en el punto considerado y su polinomio de Taylor: o Rn (x) = f (x) − Pn (x)
Teorema 0.1 Sea f (x) una funci´n que tiene derivada n-´sima finita en todo el intervalo que contiene al o e punto a y sea: f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
P (x) = f (a) +
el n-´simo polinomio de Taylor alrededor de x = a de f . e Entonces, para todo x delintervalo se verifica que: f (a) f (n) (a) f (a) 2 (x − a) + (x − a) + . . . + (x − a)n + Rn (x) f (x) = f (a) + 1! 2! n! donde, Rn (x) se denomina resto de Taylor. Diversas formas del resto: Impongamos ahora que f (x) sea continua en un entorno de x = a y que exista f (n+1) . 1. Forma de Lagrange: Rn (x) = con ξ ∈ (a, x) f (n+1) (ξ) (x − a)n+1 (n + 1)!
3
Demostraci´n: o Sea f (x) una funci´ncontinua en el intervalo cerrado [a, b] y con derivadas finitas hasta el orden o (n + 1) en el intervalo abierto (a, b). Consideremos el resto: Rn (x) = f (x) − Pn (x) donde Pn (x) es el polinomio de Taylor de f en a. Es decir: f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n ] 1! 2! n! Calculemos ahora el valor de Rn (x) en a y el de sus derivadas sucesivas: Rn (x) = f (x) − [f (a) +...
Estela Maris Ben´ ıtez Julio 2010
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INTRODUCCION: Los polinomios en una variable, con coeficientes reales, determinan funciones continuas y derivables. En muchas ocasiones, resulta conveniente aproximar una funci´n derivable no polin´mica mediante un polio o nomio particularmente elegido, y hallar la magnitud del error que se comete en esa aproximaci´n.o Analizaremos a continuaci´n el desarrollo del polinomio, el teorema y las distintas formas del resto de o Taylor para funciones de una variable, y despu´s la extenderemos a funciones de dos variables. e Polinomio de Taylor: Consideremos una funci´n cualquiera f (x) definida en un entorno de x = a, con n derivadas sucesivas o finitas en a, y un polinomio P (x) de grado n, de tal modo que en elpunto a, tenga el mismo valor e iguales n primeras derivadas que la funci´n f (x). o Es decir, sea P (x) el polinomio: P (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 . . . + cn (x − a)n Calculemos sus n primeras derivadas sucesivas: P (x) = 1!c1 + 2 c2 (x − a) + 3 c3 (x − a)2 + . . . + n cn (x − a)n−1 P (x) = 2! c2 + 6 c3 (x − a) + . . . + n (n − 1) cn (x − a)n−2 P (x) = 3! c3 + . . . + n (n −1) (n − 2) cn (x − a)n−3 . . . P (n) (x) = n! cn reemplazando en el punto a, obtenemos: P (a) = c0 P (a) = 1! c1 P (a) = 2! c2 P (a) = 3! c3 . . . P (n) (a) = n! cn por lo tanto P (a) = c0 , P (a) = c1 , 1! P (a) = c2, 2! P (a) P (n) (a) = c3, . . . , = cn 3! n!
(1)
como se desea que los valores de P (x) coincidan en x = a con los de f (x), conjuntamente con las n primeras derivadasrespectivas, nos queda que: f (a) = c0 , f (a) = c1 , 1! f (a) = c2 , 2! f (a) f (n) (a) = c3 , . . . , = cn 3! n!
luego, sustituyendo en (1): P (x) = f (a) + f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
obtenemos entonces, un polinomio de aproximaci´n unico para f (x), denominado polinomio de Taylor de o ´ orden n entorno de x = a.
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Definici´n 0.1 Si la funci´n f (x)tiene derivadas hasta el orden n-´simo en x = a, entonces el polinomio o o e de Taylor de orden n de f (x) en a se define como: P (x) = f (a) + f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
Cuando a = 0, el polinomio recibe el nombre de Polinomio de Mac-Laurin: P (x) = f (0) + f (0) f (0) 2 f (n) (0) n x+ x + ... + x 1! 2! n!
F´rmula de Taylor para funciones de unavariable: o Esta f´rmula representa una funci´n esencialmente arbitraria, aunque suficientemente derivable, definida o o en un entorno de un punto a, como la suma entre su polinomio de Taylor y un t´rmino de correci´n llamado e o resto o t´rmino complementario : e f (x) = Pn (x) + Rn (x) o o El resto de Taylor, Rn (x), permite estimar la aproximaci´n obtenida de la funci´n, ya que es la diferencia entre elvalor de la funci´n en el punto considerado y su polinomio de Taylor: o Rn (x) = f (x) − Pn (x)
Teorema 0.1 Sea f (x) una funci´n que tiene derivada n-´sima finita en todo el intervalo que contiene al o e punto a y sea: f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n 1! 2! n!
P (x) = f (a) +
el n-´simo polinomio de Taylor alrededor de x = a de f . e Entonces, para todo x delintervalo se verifica que: f (a) f (n) (a) f (a) 2 (x − a) + (x − a) + . . . + (x − a)n + Rn (x) f (x) = f (a) + 1! 2! n! donde, Rn (x) se denomina resto de Taylor. Diversas formas del resto: Impongamos ahora que f (x) sea continua en un entorno de x = a y que exista f (n+1) . 1. Forma de Lagrange: Rn (x) = con ξ ∈ (a, x) f (n+1) (ξ) (x − a)n+1 (n + 1)!
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Demostraci´n: o Sea f (x) una funci´ncontinua en el intervalo cerrado [a, b] y con derivadas finitas hasta el orden o (n + 1) en el intervalo abierto (a, b). Consideremos el resto: Rn (x) = f (x) − Pn (x) donde Pn (x) es el polinomio de Taylor de f en a. Es decir: f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + . . . + (x − a)n ] 1! 2! n! Calculemos ahora el valor de Rn (x) en a y el de sus derivadas sucesivas: Rn (x) = f (x) − [f (a) +...
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