Distribucion condicionada

5.2 Distribución condicionada
Definición (de probabilidad condicionada) Sean q y b dos números reales cualesquiera y X y Y dos variables aleatorias de manera que Pr (Y ≤ b) ≠0. La probabilidad condicionada de que X ≤ a, dado que Y ≤ b, se representa mediante Pr (Y ≤ a| Y ≤ b), y se define mediante la igualdad

Para variables aleatorias discretas, la probabilidad condicionada de x, para unvalor fijo de la variable y, está dada por

Para variables aleatorias continuas, la función de densidad condicionada de x, para un valor fijo de la variable y, está dada por

.
Como
entonces

Que puede interpretarse como el teorema de Bayes para funciones de densidad.
Ejemplos:
1. Un vector aleatorio bidimensional sigue una ley:
Y
X

1 2 3
1
1/36
2/36
3/362
2/36
4/36
6/36
3
3/36
6/36
9/36
Hallar la distribución conocida de X cuando y=2.
Solución: La distribución marginal de Y es
La distribución conocida de X cuando Y=2 es



2. La ley de densidad conjunta de una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es


Hallar la ley de distribución condicional de Y cuando X=xo.
Solución: Se tiene que

La distribución condicional de Xcuando Y=yo es


5.3 Esperanza y covarianza de una variable aleatoria bidimensional
Al igual que en el caso de las variables aleatorias unidimensionales, en las bidimensionales es posible calcular la esperanza y varianza, previa la realización de una transformación de variables.
Definición (de esperanza) Sean (X,Y) un vector aleatorio bidimensional y g(x,y) una función real

1. Si (X,Y) es unvector aleatorio discreto, cuya función de probabilidad es , entonces

2. Si (X,Y) es un vector aleatorio continuo, cuya función de densidad conjunta es f(x,y), entonces

Observemos que si X y Y son independientes, se deduce que

Para las variables aleatorias bidimensionales se tiene una media estadística nueva, la covarianza que permite evaluar la relación entre las variables aleatorias X yY.
Definición (de covarianza) Sean X y Y dos variables aleatorias, la covarianza entre X y Y se calcula por

Equivalente, la covarianza se puede calcular como Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y).
Propiedades. (Solo se demostrara una de ellas, se recomienda al lector verificar las restantes)
1.
2.
3. Si son dos constantes positivas, entonces

4. Si las variables aleatorias son independientes, lacovarianza entre ellas es igual a cero.
En defecto,

5.
A continuación, se deduce una expresión para la varianza de la suma de dos variables aleatorias cualesquiera.




Así para dos variables aleatorias cualesquiera se tiene que

De manera similar, la varianza del producto de dos variables aleatorias X y Y es

Donde y.
Con base en la covarianza y la varianza se define el coeficiente de correlación, que es una medida de la dependencia entre las variables aleatorias X y Y.
Definición (de coeficiente de correlación) Sean X y Y dos variables aleatorias, el coeficiente de correlación entre X y Y se calcula por

Propiedades. (Se recomienda que el lector verifique alguna de ellas)
1.
2. El valor delcoeficiente de correlación varía entre -1 y 1; es decir, -1≤≤1.
3. Si Y se expresa linealmente en función de X, por Y=aX+b, donde a y b son dos constantes, entonces
4. Si , entonces existe dependencia lineal entre X y Y.
5. Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces
Observación. Se debe tener en cuenta que si dos variables aleatorias son independientes, entonces son no correlacionadas;pero la afirmación reciproca no es correcta; es decir si dos variables aleatorias no están correlacionadas, no son obligatoriamente independientes.
Ejemplos
1. Las variables aleatorias S y T tienen función de probabilidad conjunta dada por
T
S

-1 0 1
-1
1/8
1/12
7/24
1
5/24
1/6
1/8
Calcular: a) las esperanzas y las varianzas de S y de T; b) el coeficiente de...