Distribuciones Bidimensionales

TEMA 1 - Introducción a las funciones de varias variables Ejercicios para entregar - SOLUCIONES
Límites y continuidad 1. Calcular los siguientes límites de funciones escalares: a)

x → ( 0,0 )

lím

xy 2 y2 + x2
2

( x , y ) → (0,0)

lím

λ v1 ( λ v2 ) λ 3v1v2 2 xy 2 = lím f ( (0, 0) + λ (v1 , v2 ) ) = lím = lím =0 2 2 λ→0 y 2 + x2 λ →0 ( λ v2 ) + ( λ v1 ) λ → 0 λ 2 ( v2 2 + v12 )lím xy 2 =0 y 2 + x2

( x , y ) → (0,0)

b)

4x3 x → ( 0,0 ) x 2 + y 2 lím

4λ 3v13 λ 3 4v 3 4 x3 = lím f ( (0, 0) + λ (v1 , v2 ) ) = lím = lím 2 2 1 2 = 0 2 2 λ→0 λ→0 ( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2 ( λ v1 ) + ( λ v2 ) λ → 0 λ ( v2 + v1 ) lím 4 x3 =0 lím ( x , y ) → (0,0) x 2 + y 2
c)

( x , y ) →(1, 2 )

lím

xy − 2 x − y − 2 x − 2x + y − 1
2

λ v1λ v2 λ 2v v vv xy = lím f ( (0, 0)+ λ (v1 , v2 ) ) = lím = lím 2 2 1 2 2 = 2 1 2 2 2 2 2 2 ( x , y ) → (0,0) x + y λ →0 λ→0 ( λ v1 ) + ( λ v2 ) λ → 0 λ ( v1 + v2 ) v1 + v2
lím

No existe el acerquemos
d)

xy , pues su valor depende de la dirección por la que nos ( x , y ) → (0,0) x + y 2 lím
2

( x , y ) →( 0 , 0 ) x 2

lím

x y +y
2

2

( x , y ) → (0,0) x 2

lím

x y +y
2

2

=

λ →0

lím f (λ v1, λ v2 ) = lím

λ 2v12 λ v2 0 = 2 = 0 2 2 2 2 λ →0 λ v + λ v v1 + v2 2 1 2

2. Estudiar la continuidad en el punto (0,0) de las siguientes funciones escalares:

a)

⎧ x2 y2 ⎪ f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩

si ( x, y ) ≠ (0,0) si ( x, y ) = (0,0)

λ 2v 2λ 2v 2 λ 2v 2v 2 0 x2 y 2 = lím f (λ v1 , λ v2 ) = lím 2 21 22 2 = lím 2 1 2 2 = 2 =0 λ →0 λ →0 λ v + λ v λ →0 v + v ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2 v1 + v2 2 1 2 1 2
lím f es continua en (0,0) porque ∃ lím f ( (0, 0) + λ (v1 , v2 ) ) = 0 = f (0, 0) = 0
λ →0
3

⎧ 4x si ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ b) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 si ( x, y ) = (0,0) ⎩ 3 λ 3v13 λ v13 4x 0 lím = lím f (λ v1 , λ v2 ) = lím 2 2 = lím 2 = 2 =0 x → (0,0) x 2 + y 2 λ →0 λ → 0 λ v + λ 2v 2 λ →0 v + v 2 v1 + v2 2 1 2 1 2
f es continua en (0,0) porque ∃ lím f ((0, 0) + λ (v1 , v2 ) ) = 0 = f (0, 0) = 0
λ →0

3. Dada la función:

⎧ x2 + y2 + z2 ⎪ f ( x, y , z ) = ⎨ xyz ⎪ 3 ⎩

si ( x, y, z ) ≠ (1,1,1) si ( x, y, z ) = (1,1,1) 3 (1 − λ )

a) Calcular el límite en el punto (1,1,1) y en la dirección del vector (-1,-1,-1).
λ →0

lím f ( (1,1,1) + λ (−1, −1, −1) ) = lím f (1 − λ ,1 − λ ,1 − λ ) = lím
λ →0

2

λ →0

(1 − λ )
2

3

=3b) Estudiar la continuidad de la función en dicho punto.
λ →0

lím f ( (1,1,1) + λ (v1 , v2 , v3 ) ) = lím f (1 − λ v1 ,1 − λ v2 ,1 − λ v3 ) = lím
λ →0

f es continua en (1,1,1) porque ∃ lím f ( (1,1,1) + λ (v1 , v2 , v3 ) ) = 3 = f (1,1,1)
λ →0

(1 − λ v1 ) + (1 − λv2 ) + (1 − λ v3 ) λ →0 (1 − λ v1 )(1 − λv2 )(1 − λ v3 )
2

2

=3

4. Considerar la función escalar definida por:

⎧x1 x 2 2 ⎪ ⎪ 4 f ( x1 x 2 ) = ⎨ x1 + x 2 ⎪ 1 ⎪ 2 ⎩

si ( x1 , x 2 ) ≠ (0,0) si ( x1 , x 2 ) ≠ (0,0)

a) Estudiar la continuidad en el punto x = (0,0) y en la dirección de cualquier vector v.
( x , y ) → (0,0)

lím

f ( x1 x2 ) = lím f ( (0, 0) + λ (v1 , v2 ) ) = lím
λ →0

λ →0

λ v1λ v2 v1v v = lím 2 4 2 2 = 1 4 2 2 λ →0 λ v + v λ v1 + λ v2 v2 1 2
4

v1 1 = f (0, 0) = ⇒ v2 = 2v12 v2

f sólo es continua en el punto (0,0) en la dirección v = ( v1 , 2v1 )
b) Estudiar la continuidad en el punto x = (0,0) y en la dirección del vector v =(1, 2).
λ →0

lím f ( (0, 0) + λ (1, 2) ) =

1 = f (0, 0) 2

Continua

Tema 2 - Problemas de Matemáticas Derivadas: análisis del comportamiento y de la tendencia local Valores marginales. Elasticidades (varias variables)Ejercicios para entregar - SOLUCIONES 1. Sea la función 1.1

f ( x1 , x 2 ) =

2 x1 + x 2 . Se pide: x1 + x 2

Hallar el valor marginal de la función respecto de x1 en el punto (0, 2).

f Mg − x1 =
1.2

∂f 2( x1 + x2 ) − (2 x1 + x2 ) ⋅1 x2 2 1 = = ⇒ f Mg − x1 (0, 2) = = 2 2 ∂x1 4 2 ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 )

Calcular, aplicando la definición, la derivada direccional de la función en el punto...