Distribuciones Estadistica

Distribución de Bernoulli

 Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para la probabilidad de fracaso ().
Si  es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria  se distribuye como una Bernoulli de parámetro .La fórmula será:



Su función de probabilidad viene definida por:













Ejemplo:
"Lanzar un dado y salir un 6".
Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).
Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad será 1/6.

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquierotro resultado.

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).
Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro  = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 vienedefinida como la probabilidad de que X sea igual a 0.








Distribución Binomial

Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
 A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con unaprobabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:Su función de probabilidad es



donde 

siendo    las combinaciones de  en  ( elementos
tomados de  en )

Ejemplos:
Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno delos experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variableque mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Ejemplo

Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidadsería P(X=20):













Distribución Geométrica

 La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado. También implica la independencia de las pruebas entre sí.

P(X = x) = 

Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo probabilístico geométrico, si su función de probabilidadeses:
 


Ejemplo:
Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3?
En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:
 
P(X = 3)...