Distribuciones Estadisticas

6.4.2 Distribución de Bernoulli
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a losposibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota


Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste enlanzar una moneda al aire y considerar la v.a.




Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:




y su función de distribución:




Su función característica es:




Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente



o bien usando la función característica y la proposición de la página :








6.4.2.1Observación
En este caso tan simple no se aprecia la ventaja de usar la función característica en el cálculo de momentos, pero en las próximas leyes de probabilidad que son más complicadas, esta ventaja se hará manifiesta.

6.4.4 Distribución binomial
Se dice que una v.a. X sigue una ley binomial de parámetros n y p, , si es la suma de n v.a. independientes de Bernouilli con el mismo parámetro, p: 
Esta definición puede interpretarse en el siguiente sentido: Supongamos que realizamos n pruebas de Bernouilli, Xi, donde en todas ellas, la probabilidad de éxito es la misma (p), y queremos calcular el número de éxitos, X, obtenidos el el total de las n pruebas. Su ley de probabilidad es6.1 En la Figura 6.1 se representa la función de probabilidad de una variable binomial.

  
Figura:Función de probabilidad de una variable binomial cunado n es pequeño.



  
Figura: Función de probabilidad de una variable binomial cuando n es grande.




Por tanto, su función de distribución es




El modo más simple de calcular la función característica nos lo da el teorema de la página , que afirma que la función característica de la suma de variables independientes es elproducto de las funciones características de estas:




Los principales momentos de X los calculamos más fácilmente a partir de (prop. página 5) que de su propia definición:











6.4.4.1 Ejemplo
Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya incidencia sobre una población de niños es del . La sensibilidad del test es del y laespecificidad del . ¿Cual es la probabilidad de que exactamente a cuatro personas le de un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test le da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén sanas? Calcular la probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para dos personas. Calcular la probabilidad de que el resultado sea correctopara más de 7 personas.
Solución:
Los datos de que disponemos son:



donde E, T+, y T- tienen el sentido que es obvio. Si queremos saber a cuantas personas el test le dará un resultado positivo, tendremos que calcular , para lo que podemos usar el teorema de la probabilidad total (estar enfermo y no estarlo forman una colección exhaustiva y excluyente de sucesos):



Sea X1 la v.a. quecontabiliza el número de resultados positivos. Es claro que llamando , se tiene que X sigue una distribución binomial




Por ello la probabilidad de que a cuatro personas le de el resultado del test positivo es:




Si queremos calcular a cuantas personas les dará el test un resultado positivo aunque en realidad estén sanas, hemos de calcular previamente , o sea, el índice...