Diversificado

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA CON ECUACIONES


1.- Busca las dimensiones de un rectángulo del que conocemos su perímetro, 34m, y su área, 60m2.

Solución:

|Conocer las dimensiones de un rectángulo es saber su base y su | |
|altura. |[pic]|
| | |
|Llamemos: “x” al valor de la base | |
|“y” al valor de la altura ||



Tenemos dos incógnitas, entonces, tendremos que buscar dos ecuaciones que contengan esas dos incógnitas.

* Como el perímetro, que es la suma de todos sus lados, es 34m, entonces hay una ecuación que es inmediata: [pic]

* Y con el dato del área, 60m2, sacamos otra ecuación: [pic]

Ya tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas. Planteando un sistema, resolvemos:[pic]

[pic].

Entonces tenemos dos posibilidades:


• Si [pic]


• Si [pic]

Podemos interpretar estos resultados como dos soluciones posibles, o como una, porque en realidad se trata del mismo rectángulo (de la misma figura) con las mismas dimensiones, pero, en posición horizontal o vertical.

Respondiendo entonces a lo que nospedían, las dimensiones del rectángulo son 5m y 12m.






2.- Un triángulo isósceles mide 32cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8cm. Calcula los lados del triángulo.

Solución:

| |[pic] |
|Vamos a llamar “a” a los lados iguales deltriángulo isósceles.| |
| | |
|Y “b” al lado desigual. | |

Como ocurría en el ejercicio anterior tenemos dosincógnitas, así que tenemos que buscar dos ecuaciones.

* Con el dato del perímetro obtenemos la primera: [pic]

* Ahora hay que buscar una ecuación en la que aparezcan el otro dato, la altura del triángulo, y las dos incógnitas:

| |[pic] |
|Vemos que la altura del triánguloisósceles forma dos | |
|triángulos rectángulos, de lados “a”, 8 y “[pic]”. En la figura| |
|tenemos marcado a color uno de ellos. | |


Y en un triángulo rectángulo hay unafórmula que relaciona sus lados: [pic]

Entonces ya tenemos el sistema que nos permitirá hallar los valores de los lados del triángulo:

[pic]
[pic]

Entonces, sustituyendo, tenemos como solución [pic]

Por lo tanto, los lados del triángulo miden 10cm (cada uno de los iguales) y 12cm.


3.- El área total de un cilindro es [pic]cm2, y entre su radio y la altura suman 14cm. Halla elvolumen de dicha figura.

Solución:

| | |
|Sea nuestro cilindro el que aparece en la figura, en donde: “h” |[pic] |
|representa la altura |...