Diviciones Algebraicas

Guía de División y Factorización de Expresiones Algebraicas
Conocimientos previos:
a) Si [pic], [pic] y [pic][pic] y [pic], entonces se dice que [pic] y [pic] son factores o divisores de [pic], y además [pic] es múltiplo de [pic] y [pic].
Ejemplos:
✓ [pic]
✓ [pic]
✓ [pic]


b) Existencia de inversos multiplicativos
Paratodo número [pic] diferente de cero, existe un número único [pic] (recíproco de [pic]), tal que: [pic].
c) Si [pic], y [pic] y [pic] son enteros positivos:
[pic]
d) Si [pic] (algoritmo de la división), donde:
[pic]
Ejemplo:
[pic] donde, 12 es el dividendo, 8 el divisor, 1 el cuociente y 4 el resto.
División de unPolinomio por un Monomio
Ejemplo 1:
[pic]

Vamos a realizar el siguiente procedimiento:

[pic]
Ejercicios Propuestos
i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]
v) [pic]
vi) [pic]
División de un Polinomio por otro Polinomio
Procedimiento:
i) Ordénese cada polinomio según potencias descendentes de una letra común.
ii) Divídase elprimer término del dividendo (polinomio a dividirse) por el primer término del divisor. Esto da el primer término del cuociente.
iii) Multiplicar el divisor por el primer término del cuociente y réstese del dividendo el producto.
iv) Utilizando el residuo así obtenido como nuevo dividendo repetir el proceso determinando así el segundo término del cuociente.
v) Continuar elproceso hasta obtener un residuo que sea igual a cero o de grado inferior en la letra a la letra común del divisor. Si el residuo es cero la división es exacta, si no es cero queda un residuo.

Ejemplo 2:

[pic]

[pic]


[pic]









[pic]



[pic]

Se puede reescribir:
[pic]

Tomar Nota: una forma de escribir la división de polinomios es,
[pic] [pic]o

[pic]

Donde:
[pic]

Ejemplo 3:
Dividir [pic]

[pic]
Donde:
[pic]

Ejercicios Propuestos
i) [pic]
ii) [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]
v) [pic]
vi) [pic]
vii) [pic]
viii) [pic]
ix) [pic]
x) [pic]
xi) [pic]
xii) [pic]
xiii) [pic]
xiv) [pic]








Factorización
Elproceso de descomponer en sus factores una expresión algebraica es similar al de determinar los factores de un número compuesto. Este proceso, que a este nivel básico se limita, por lo general, sólo a la descomposición de polinomios con coeficientes racionales y factores totalmente libres de números racionales, se efectúa corrientemente invirtiendo el proceso considerado en la multiplicación.
Taldescomposición es considerada completa cuando cada factor algebraico es un factor primo; esto es, una expresión algebraica que no puede a su vez descomponerse sin violar las restricciones precedentes.

Ejemplo 1
Descomponer en factores: [pic]

Solución: el polinomio tiene como factor común [pic].

[pic]

Ejemplo 2
Descomponer en factores: [pic]
Solución: cada unade las dos expresiones tiene como factor común [pic].

[pic]

Ejemplo 3
Descomponer en factores: [pic]


Solución:
[pic]

Ejemplo 4
Descomponer en factores: [pic]

Solución: al analizar tanto el primer término y el tercero, corresponden a cuadrados perfectos de [pic] y [pic]. Por otra parte el término central debiese ser el doble del primer término por elsegundo: [pic]

Así por lo tanto la expresión a descomponer corresponde al desarrollo de un cuadrado del binomio.

[pic]

Casos de Factorización
I. Monomio como factor común
a) [pic]


b) [pic]



c) [pic]

Ejercicios Propuestos: Factorizar



i) [pic]2
ii) [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]
v) [pic]
vi) [pic]...