División Sintética

La divisi´n sint´tica y su uso en los l´ o e ımites
Para dividir un polinomio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 por el polinomio de grado 1, x − c, podemos usar un procedimiento sencilloque se llama la divisi´n sint´tica. Lo mostramos con un ejemplo: o e Ejemplo 1. Dividir el polinomio p(x) = 3x4 − 2x2 + x + 5 por x + 2 Soluci´n: Colocamos TODOS los coeficientes del polinomio en ordendescendente y el n´mero −2 como se o u muestra: 3 0 −2 1 5 −2

Observe que se coloc´ un cero en la segunda posici´n, puesto que este es el coeficiente de x3 . A continuaci´n o o o se coloca elcoeficiente de x4 debajo de la l´ ınea 3 3 Ahora se multiplica el coeficiente de x4 por el n´mero −2 y el resultado se coloca debajo del segundo u coeficiente 3 3 Se suman estos dos ultimos n´meros y elresultado se coloca debajo de la l´ ´ u ınea. 3 3 0 −6 −6 −2 1 5 −2 0 −6 −2 1 5 −2 0 −2 1 5 −2

Se repite este procedimiento hasta terminar 3 3 3 3 0 −6 −6 0 −6 −6 −2 12 10 −2 12 10 1 5 −2

1 −20 −195 38 43

−2

Los n´meros que se encuentran debajo de la l´ u ınea, excepto el que se encuentra encuadrado, son los coeficientes del cociente y el residuo es el n´mero encuadrado, es decir, u 3x4 −2x2 + x + 5 43 = 3x3 − 6x2 + 10x − 19 + x+2 x+2 o bien 3x4 − 2x2 + x + 5 = (3x3 − 6x2 + 10x − 19)(x + 2) + 43 Si el residuo es cero la divisi´n es exacta. Esto sucede cuando el n´mero que se colocahasta la derecha es o u una ra´ del polinomio (cuando se eval´a el polinomio se obtiene 0). Es decir se tiene un procedimiento para ız u factorizar polinomios, Ejemplo 2. x = −1 es una ra´ del polinomiop(x) = x3 − 5x − 4 ız En efecto: p(−1) = (−1)3 − 5(−1) − 4 = −1 + 5 − 4 = 0 Por lo tanto es posible factorizar el polinomio. Para esto aplicamos la divisi´n sint´tica o e

1 1 Por lo tanto

0 −1−1

−5 1 −4

−4 4 0

−1

x3 − 5x − 4 = x2 − x − 4 ⇐⇒ x+1 Podemos usar esto para calcular algunos l´ ımites Ejemplo 3. Calcule el l´ ımite lim

x3 − 5x − 4 = (x2 − x − 4)(x + 1)

x→1...