Divisibilidad Te Rico Pr

Tema: Divisibilidad

Definición de divisor de un número natural:
Sean , decimos que divide a y anotamos si y solo si existe otro número natural c tal que multiplicado por de como resultado el natural b. En símbolos:


Definición de múltiplo de un número natural:

Fundamenta las siguientes propiedades:
El 1 es divisor de todo natural.
El 0 no es divisor de ningún natural.
Todo número exceptoel cero es divisor de si mismo.
Si dos números a y b son múltiplos de otro número c, la suma de ambos (a+b) es múltiplo de c.
Los divisores de un número natural no nulo son menores o iguales que él.

Investiga la validez de las siguientes propiedades. Fundamenta.
La suma de dos números pares es otro número par
La suma de dos números impares es un número impar
Si un número x divide a otronatural a, entonces x divide también a todo múltiplo de a.
Todo número x cuyos dígitos tienen la forma es múltiplo de 11.

Demuestra las siguientes propiedades:
Si x divide a dos números a y b, también divide a su diferencia
Si x divide a a y además x divide a la suma de a y b, entonces x divide a b
Si x|a y z|b entonces zx|ab


Definición de división entera
Dados dos números naturales a y b, con b nonulo, efectuar la división de a entre b es hallar dos números naturales q y r que cumplan las siguientes condiciones:
i.
ii.

¿Para cualquier par de naturales a y b, existen otros naturales q y r que cumplen esas condiciones? ¿Cuántos hay?

Hallar todos los naturales que cumplan D, d=4, r, q=17

Completa los siguientes esquemas de división entera discutiendo el número
de soluciones:

a) 33b) 42 c) 72 d) e) 7 f) 4 g) 3
2 8 2 3 4 9 9 5



Hallar todos los naturales que divididos entre 29 dan cociente igual al resto elevado al cubo.
Justifica las siguientespropiedades:
Si en una división entera, un número divide exactamente al dividendo y al divisor, entonces divide exactamente al resto.
Si en una división entera, un número divide exactamente al divisor y al resto, entonces divide exactamente al dividendo.

Sabiendo que y determina a,q,r  N.


Definición: Conjunto de divisores de un número natural
Dado un número natural, denominamos conjunto dedivisores de dicho número al conjunto d()={x/x natural x divide a }
Determina todos los divisores de 48.
Determina todos los divisores de 36.
Encuentra todos los divisores comunes a esos dos números.
¿Siempre existirá algún divisor común? Justifica.
¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?¿Cómo se le denomina?


Definición: Máximo común divisor
Llamamos máximo común divisor de dos númerosnaturales a y b, y anotaremos D(a,b) o simplemente D, al máximo del conjunto de divisores comunes de a y b.

¿Siempre existe el máximo común divisor de dos naturales? Justifica.

Investiga la veracidad del siguiente enunciado: “El conjunto de divisores comunes a dos números a y b, es igual al conjunto de divisores comunes del divisor y el resto de dividir a entre b”

Determina el conjunto de divisorescomunes a 24 y 18 aplicando la propiedad anterior.

Busca información sobre Euclides y el Algoritmo de Euclides:

Aplicando el algoritmo de Euclides, hallar el máximo común divisor entre 6684 y 2700

Completar el cuadro sabiendo que a+b=1500:


1
3
1
2
a
b
r1
r2
r3
r1
R2
R3
0


Propiedades del máximo común divisor
Todo divisor común de a y b, es divisor de su máximo común divisor y recíprocamente.(No se demuestra)
Justifica: Si q y r son el cociente y el resto de dividir a entre b, y x es un número natural no nulo, entonces q y rx son el cociente y el resto de dividir (ax) entre (bx)
Si el máximo común divisor de dos números a y b es D, y x es un natural no nulo, entonces el máximo común divisor de ax y bx es Dx



Definición: números primos entre si o coprimos
Dos números se dicen...