Divisibilidad y Criterios De Divisibilidad

Divisibilidad
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.
Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo.Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

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Factor propio
Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a un número también entero que es divisor de n. Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6.
Casos especiales: 1 y -1son factores propios de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares
Propiedades
Sean , es decir ,  y  son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:
*  (Propiedad Reflexiva).
* Si  y , entonces  (Propiedad Transitiva).
* Si  , entonces .
* Si  y , entonces .
*Si  y , entonces 
* Si  y , entonces .
* Si  y , entonces .
* Para ,  si y sólo si 
* Si  y , entonces .
* Si  y  cumple que  y , entonces .
Como  y  se tiene que  y  para todo  entero. Si  no es divisible por  escribimos . Notemos que  para todo  distinto de cero, pues  para todo  entero.
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Criterios de divisibilidad
Los siguientescriterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:
Número | Criterio | Ejemplo |
2 | El número termina en cero o cifra par. | 378: porque "8" es par. |
3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. | 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3. |
4 | El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de4. | 7324: porque 24 es múltiplo de 4. |
5 | La última cifra es 0 ó 5. | 485: porque acaba en 5. |
6 | El número es divisible por 2 y por 3. | 24: Ver criterios anteriores. |
7 | Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. | 34349: porque 3434'9,9(2)=18, entonces 3434-18=3416, de nuevo, 341'6, 6(2)=12, entonces 341-12=329, de nuevo, 32'9, 9(2)=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7. Porque 14 es múltiplo de 7. |
8 | El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8. | 27280: porque 280 es múltiplo de 8. |
9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. | 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. |
10| La última cifra es 0. | 470: La última cifra es 0. |
11 | Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales. | 42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 ·13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11
66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11 |
12 | El número es divisible por 3 y 4. | 528: Ver criterios anteriores. |
13 | Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13 | 364: porque 36'4,4(9)=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 364 es divisible entre 13 |
17 | Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17 | 2142: porque 214'2, 2(5)=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4(5)=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre...