Divisibilidad

Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
Ejemplo
Veamos si el numero 1731564 es divisible por 3.
Según el teorema anterior,1+7+3+1+5+6+4=27, pero 27 es divisible por 3 (27=9*3), por tanto, el número 1731564 es divisible por 3.
También hay que subrayar que se cumple en el otro sentido, o sea, si un número es divisible por 3,entonces la suma de sus dígitos es divisible entre 3.
Demostración
Para hacer la demostración formal, habría que demostrar dos cosas (ya que hablamos de una doble implicación ).
1.
Demostraremosprimeramente que si 3|n => 3 divide a la suma de sus dígitos (de n).
Sean a0, a1, a2, a3,…, ak, los dígitos de n.
Sabemos que todo numero n de k cifras, se puede escribir como:
n= a0 + a1*10 + a2*100 +… + ak * 100…0 (ej. 132=100 + 30 + 2)
luego, partimos de que 3|n (3 divide a n), y por tanto:
3| a0 + a1*10 + a2*100 + … + ak * 100…0 (planteamos la división que tenemos por dato)
*Ahora el grantruco de la demostración. Lo que hacemos es descomponer todo numero de la forma 10k como 9999…9 +1, donde el 9 se repite k veces. Luego:
3| a0 + a1*(9+1)1 + a2*(99+1) + … + ak *(999…9+1)(descomponiendo)
3| a0 + 9a1 + a1 + 99a2 + a2 + … + 9999…9ak + ak (aplicando propiedad distributiva)
3| (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9a1 + 99a2 + 999a3 + … + 9999…9ak (agrupando)
3| (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) +9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak) (sacando factor común)
Ahora utilizaremos una propiedad de divisibilidad que no se ve mucho en los libros:
Si a|b+c y a|c, entonces a|b (si a divide a b+c, y adivide a c, entonces necesariamente a|b)
Tomando:
b + c = n = (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak)
c = 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak)
b = (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak)Tenemos por dato que 3|n,
además esta claro que 3|9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak), ya que 3|9,
por tanto utilizando la propiedad anterior, necesariamente:
3 | a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak, que no es...