divisibilidad

TEMA 3

DIVISIBILIDAD
1.- Múltiplos de un número
Definición: Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces;
es decir, cuando la división del primero entre el segundo es exacta.
10 es múltiplo de 2 ya que 10 : 2 = 5 y r = 0
Para indicar abreviadamente que un número es múltiplo de otro escribiremos:
10 = ; se lee 10 es múltiplo de 2.
Un número tiene infinitosmúltiplos. Se obtienen multiplicando sucesivamente el número
por los números naturales (0, 1, 2, 3…)
 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21... 









 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42...

Propiedades de los múltiplos:
 El cero es múltiplo de cualquier número. El producto de cualquier número por 0 es
igual a 0
5x0=0
0=
12 x 0 = 0
0=
 Un número siempre es múltiplo de sí mismo. Elproducto de cualquier número por
1 es igual a dicho número.
5x1=5
5=
12 x 1 = 12
12 =

 La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
60 y 12 son múltiplos de 4. Su suma, 72, también es múltiplo de 4.

 La diferencia de dos múltiplos de un número es múltiplo de dicho número.
30 y 24 son múltiplos de 2. Su diferencia, 6, también es múltiplo de 2.


Si unnúmero es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero son múltiplos del
segundo.
Si 15 =
Como 60  , también 60 

2.- Divisores de un número
Definición: Un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto de
veces, es decir, cuando la división del segundo entre el primero es exacta.
2 es divisor de 10 ya que 10 : 2 = 5 y r = 0
Para indicar abreviadamente que unnúmero es divisor de otro, escribiremos:
4 = D (12) ; se lee 4 es divisor de 12.
Para hallar todos los divisores de un número:
- Se escribe como producto de dos factores empezando con el factor 1.
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- Se termina cuando se repitan los factores.
Ejemplo: 12 = 1x12 = 2x6 = 3x4 = 4x3 (aquí ya repetimos los factores) luego

D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Propiedades de los divisores: El uno es divisor de cualquier número. La división de cualquier número entre 1 es
siempre exacta.
5:1=5yr=0
1 = D (5)
 Un número siempre es divisor de sí mismo. La división de cualquier número entre
sí mismo es siempre exacta.
15 : 15 = 1 y r = 0
15 = D(15)
 Si un número es divisor de otro y éste lo es de un tercero, el primer número es
divisor del tercero.
Si 5 = D(10) y 10 =D(20), observa que 5 = D(20)

3.- Números pares e impares
Se llama número par a todo número múltiplo de 2. Se representa por la expresión
2n, siendo n un número natural cualquiera.
Números impares son los números que no son múltiplos de 2. Se representa por la
expresión 2n + 1, siendo n un número natural cualquiera.

4.- Criterios de divisibilidad
Para saber si un número es divisible porotro, se divide por él y se comprueba si la
división es exacta. En algunos casos, la realización de la división puede evitarse aplicando
los llamados criterios de divisibilidad.
Definición: Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten averiguar, en
algunos casos, si un número es o no es divisible por otro sin necesidad de efectuar la
división. Son especialmente útiles en ladescomposición de los números en sus factores
primos.
Reglas: Un número es divisible por:


2

Si acaba en ( 0, 2, 4, 6, 8)
Ejemplo: 12.078 es divisible por 2 porque 8 es cifra par.



3

Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
Ejemplo: 1.428 es divisible por 3 porque 1+4+2+8 = 15 que es múltiplo
de 3.



4

Si las dos últimas cifras son ceros o forman un númeromúltiplo de 4.
Ejemplo: 1984 es divisible por 4 porque 84 lo es.



5

Si acaba en cero o en cinco.



6

Si es a la vez de 2 y de 3.
246 es divisible de 6 porque: 246 es divisible de 2 ( termina en cifra par) y de 3
(las cifras suman 12) a la vez.

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2



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

8 ---- Si las tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8.



9 ---- Si la suma...