Division de Polinomios

Generalización de la regla de Ruffini
¿Cómo realizamos los cálculos en el caso en que el divisor sea (x + a) ó (bx ± a)?
La regla de Ruffini fue enunciada para el caso en que el divisor sea x – a.Ahora bien,
como x + a puede escribirse como x – (–a) bastará con aplicar la regla a ésta última
expresión.
Ejemplo:
Queremos hacer la división de:
7
P(x) = 6x 3 − 6x +
por
4
d(x) = 2x −1
1-Usamos la disposición habitual.

6x3 + 0x 2 − 6x +

7
4

− 6x 3 + 3x 2

2- Nos proponemos ahora efectuar la
división de P(x) / 2 por ( x - ½ )
utilizando la Regla de Ruffini.
P(x)
7
= 3x 3 + 0 x 2 - 3x +
2
8

2x − 1
3

3
9
3x 2 + x −
2
4

3x 2 − 6x
3
− 3x2 + x
2
9
7
− x+
2
4
9
9
x−
2
4
1
−
2

1
2

0

3
4

3
2

3

3
2

7
8

-3

−−9
8

9
4

−

2
8

Por lo tanto: C(x) = 3 x2 + 3/2 x – 9/4 que
es exactamente el cociente de P(x) por
( 2x – 1)
¿Puede considerarse a esto como un
hecho casual? ¡¡ NO!!

3
9
c(x)= 3x 2 + x −
2
4
1
r=−
2

Observemos además que: R = −

2
r
=
8
2

Esto tampoco es un hecho casual.

Si al divisor bx – a con b ≠0 lo escribimos como b [ x -

a
], al dividirobtenemos un cociente
b

c(x) y un resto r que verifican: P(x) = b [x - a ] c (x) + r
b

Si dividimos miembro a miembro por b obtenemos:

Al dividir al polinomio
es igual a

r
.
b

P(x)
ar
= [ x - ] c(x) +
b
b
b

P(x)
a
por (x - ) obtenemos el mismo polinomio cociente y un resto que
b
b

EJERCICIO:
a) Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini
i) D(x)= x4 + a4 d(x) = x + a
ii) D(x) = x5 + a5 d(x) = x + a
iv) D(x) = x4 + a4 d(x) = x – a
v) D(x) = x5 + a5 d(x) = x – a
b) Determina en qué casos los polinomios son divisibles.

Raíces de unpolinomio

DEFINICIÓN
Un número real a es raíz de un
polinomio P(x) si y sólo si P(a) = 0

EJEMPLO
Dado P(x) = 3 x2 + 2x – 5, se verifica
que x = 1 es raíz de P(x) pues P(1) = 0

P(x)

Si a...