division de polinomios

División de Polinomios

Ejercicios de división de polinomios

www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

c
MathCon ⃝ 2007-2008

Contenido

1. Introducción

2

2. División de monomios

3

3. División de un polinomio por un monomio

5

4. División de un polinomio por un polinomio

7

Introducción
Uno de los temas más complicados es la división depolinomios, principalmente porque las operaciones
no son muy frecuentes en muchos cursos. De hecho la división no es más que una multiplicación por un
inversos multiplicativos.
Otras de las propiedades usadas en la división se listan a continuación:
1. Ley de los signos:
a) + entre + da +
b) − entre + da −
c) + entre − da −
d) − entre − da +
2. Ley de los exponentes:
a) Al dividirpotencias con la misma base, las potencias se restan:
an
= an−m
am
Haremos uso también de la siguiente notación:
1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama coeficiente y x
representa una variable y se llama indeterminada.
2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax + bx2 .
3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dosmonomios, por ejemplo ax + bx2 + cx3 .

1

División de monomios
1. −a2 b entre −ab
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
−a2 b
−ab

=

+a2−1 b1−1

= a1 b0
= a·1
= a
Paso 2 Por lo tanto

−a2 b
=a
−ab

2. 16m6 n4 entre −5n3
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
16m6 n4
−5n3

=
=
=

Paso 2Por lo tanto

16 6 4−5
m n
5
16
− m6 n−1
5
16m6
−
5n

−

16m6 n4
16m6
=−
−5n3
5n

3. am+3 entre am+2
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
am+3
am+2

= am+3−(m+2)
= am+3−m−2)
= a

2

2. División de monomios

4

Paso 2 Por lo tanto

am+3
=a
am+2

1
3

4. 3m4 n5 p6 entre − m4 np5
Paso 1 Usando la ley de signos,y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
3m4 n5 p6
1
− m4 np5
3

3
= − m4−4 n5−1 p6−5
1
3
= −9m0 n4 p1
= −9n4 p

Paso 2 Por lo tanto

5. −

3m4 n5 p6
= −9n4 p
1 4 5
− m np
3

1 x−3 m+5 2
3
a b
c entre ax−4 bm−1
15
5

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
−

1 x−3 m+5 2
a
b
c
15
3 x−4 m−1
a
b
5

Paso 2 Porlo tanto
−

1
15 ax−3−(x−4) bm+5−(m−1) c2
= −
3
5
1 1 4 2
= − a b c
9
1
= − ab4 c2
9

1 x−3 m+5 2
a
b
c
1
15
= − ab4 c2
3 x−4 m−1
9
a
b
5

Algunos errores comúnmente hechos:

Observación 1 Multiplicar (−a)(bc) no es igual a (−ab)(−ac).

División de un polinomio por un monomio

3

Observación 2 En la división de un polinomio por un monomio se hace uso de la leydistributiva
a(b + c) = ab + ac.

1. 4x8 − 10x6 − 5x4 entre 2x3
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
4x8 − 10x6 − 5x4
2x3

Paso 2 Por lo tanto

4x8
10x6
5x4
−
− 3
3
3
2x
2x
2x
5
8−3
6−3
= 2x
− 5x
− x4−3
2
5
= 2x5 − 5x3 − x1
2
5
= 2x5 − 5x3 − x
2
=

4x8 − 10x6 − 5x4
5
= 2x5 − 5x3 − x
3
2x
2

2. 4ax+4 bm−1 − 6ax+3bm−2 + 8ax+2 bm−3 entre −2ax+2 bm−4
Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
4ax+4 bm−1 − 6ax+3 bm−2 + 8ax+2 bm−3
−2ax+2 bm−4

4ax+4 bm−1
6ax+3 bm−2
8ax+2 bm−3
−
+
−2ax+2 bm−4
−2ax+2 bm−4
−2ax+2 bm−4
x+4−(x+2) m−1−(m−4)
= −2a
b
x+3−(x+2) m−2−(m−4)
+3a
b
=

−4ax+2−(x+2) bm−3−(m−4)
= −2a2 b3 + 3a1 b2 − 4a0 b1
= −2a2 b3 + 3ab2 − 4b

3.División de un polinomio por un monomio

6

Paso 2 Por lo tanto
4ax+4 bm−1 − 6ax+3 bm−2 + 8ax+2 bm−3
= −2a2 b3 + 3ab2 − 4b
−2ax+2 bm−4

3
4

3. − an−1 xm+2 +

1 n m+1 2 n+1 m
2
a x
− a x entre − a3 x2
8
3
5

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos:
1
2
3
− an−1 xm+2 + an xm+1 − an+1 xm
4
8
3
2 3 2
− a x
5

3
1 n m+1
2
a x...