Doctor En Matemáticas

Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial.
Grao de Matemáticas.
6.- Determinantes e as súas aplicacións.
6.1. Definición.
Sexa A = (aij)  Mnxn(K), unha matriz cadrada de orde n.
Denotamos por A(i|j) a matriz resultante de A ó suprimir a fila i e a columna j.
Definimos o determinante de A, det(A) ou A , como sigue
i) Se n = 1, A = (a11), det(A) = a11.
ii) Se n > 1, det(A) = a11det(A(1|1)) –a21det(A(2|1)) + … + (-1)n+1 an1det(A(n|1)) =
=

n

 (1)
i 1

i 1

 i1 det( A(i | 1)) .

Chamamos adxunto ou cofactor do coeficiente aij de A e notarémolo por Aij , ó valor
Aij = (−1)i+j det(A(i|j)).
Para obter o adxunto dun coeficiente aij, calculamos o determinante da matriz que resulta
de A ó suprimir a fila i e a columna j, e o signo que precederá a este determinante será+ se i + j é par
- se i + j é impar.
Dada unha matriz cadrada A = (aij) de orde n, os adxuntos dos elementos da primeira
columna son A11, A21, …, An1 e
det(A) = a11A11 + a21A21 + .... + an1An1.
Esta fórmula é coñecida como desenvolvemento do determinante de A polos adxuntos dos
elementos da primeira columna e permite calcular o determinante de calquera matriz
cadrada.
n

det(A) =

i 1

i1

Ai1.

1

6.2. Exemplo (Determinante de orde 2)
Cálculo do determinante dunha matriz cadrada de orde 2.
a
Se A =  11
a
 21

a12 
,
a 22 


aplicando a fórmula da definición temos que
a
det  11
a
 21

a12 
 = a11det(A(1|1)) – a21det(A(2|1)) = a11a22 – a21a12.
a 22 


6.3. Exemplo (Determinante de orde 3)
Cálculo do determinante dunha matrizcadrada de orde 3.
 a11

Se A =  a 21
a
 31

a12
a 22
a32

a13 

a 23  ,
a33 


Se facemos o desenvolvemento de tódolos pasos, temos:

 a11

det  a 21
a
 31

a12
a 22
a32

a
= a11 det  22
a
 32

a13 

a 23  = a11det(A(1|1)) – a21det(A(2|1)) + a31det(A(3|1)) =
a33 

a 23 
a
 – a21det  12

a
a33 
 32

a13 
a
 +a31det  12

a
a33 
 22

a13 
=
a 23 


= a11 (a22 a33 – a23 a32) – a21 (a12 a33 – a13 a32) + a31 (a12 a23 – a13 a22) =
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23 – a31 a13 a22.

6.4. Proposición.
Sexa A = (aij)  Mnxn(K), unha matriz cadrada de orde n.

2

 a11

 ..
 ..

det  ..
 ..

 ..

a
 n1

.. a1( j 1)

a1 j

a1(j 1)

..
..

..
..

..
..

..
..

..

..

..

..

..
..

..
..

..
..

..
..

a nj

a n ( j 1)

.. a n ( j 1)

 a1 j

 ..
 ..

= (-1)(j-1) det  ..
 ..

 ..

a
 nj

a11

.. a1( j 1)

.. a1n 

.. .. 
.. .. 

.. ..  =
.. .. 

.. .. 

.. a nn 

a1( j 1)

..
..

..
..

..
..

..
..

..

....

..

..
..

..
..

..
..

..
..

a n1 .. a n ( j 1)

a n ( j 1)

.. a1n 

.. .. 
.. .. 

.. ..  .
.. .. 

.. .. 

.. a nn 


Demostración:
Faremos unha demostración por inducción:
i) Para n = 2, é claro pois

a
det  11
a
 21
a
det  12
a
 22

a12 
 = a11det(a22) - a12det(a21) = a11a22 - a12a21
a 22 

a11 
a
 =a12det(a21) - a11det(a22) = a12a21 - a11a22 = (-1)2-1det  11
a
a 21 

 21

a12 
.
a 22 


ii) Supoñemos certo para matrices cadradas de orde n-1
iii) Probamos que se é certo para matrices cadradas de orde n-1, entonces é certo para
matrices cadradas de orde n. En efecto:
 a11

 ..
 ..

det(A) = det  ..
 ..

 ..

a
 n1

.. a1( j 1)
..
..
..
..
....
..
..

..
..
.. a n ( j 1)

a1 j
..

a1( j 1)
..

..
..

..
..

..

..

..
a nj

..
a n ( j 1)

.. a1n 

.. .. 
.. .. 

.. ..  =
.. .. 

.. .. 

.. a nn 


n

 (1)
i 1

i 1

ai1 det( A(i | 1)) .

3

Por hipótese de indución, como A(i|1) é unha matriz cadrada de orde n-1, se poñemos a
columna j como primeira...